Дифференцирование сложных функций. Практикум по математическому анализу. Урок 104

Дифференцирование сложных функций. Практикум по математическому анализу. Урок 104
Переменная $z$ называется сложной функцией от независимых переменных $x,y,...,t$, если она задана через посредство промежуточных аргументов $u,v,...,w$:

$$z=F(u,v,...,w),$$

где

$$u=f(x,vy...,t),\; v=\varphi (x,y,...,t),...,w=\psi (x,y,...,t).$$

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}+...+\frac{\partial z}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x} ;$$

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}+...+\frac{\partial z}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial y} ;$$

$$\displaystyle \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$$

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial t}+...+\frac{\partial z}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial t} .\; \; \; \; \; \; \; (*)$$

Если, в частности, все аргументы $u,v,...,w$ будут функциями от одной независимой переменной $x$, то и $z$ будет сложной функцией только от $x$. Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой

$$\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}+...+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dx}.\; \; \; \; (**)$$

(Она получается из формулы для полного дифференциала функции $z(u,v,...,w)$ путем деления на $dx$.)

Пример 1. Найти производные сложных функций:

1) $\displaystyle y=u^{2}e^{v},\: u=\sin x,\: v=\cos x;$
2) $\displaystyle p=u^{v},\: u=\ln (x-y),\: v=e^{\frac{x}{y}};$
3) $\displaystyle z=x\sin v\cos w,\: v=\ln (x^{2}-1),\: w=-\sqrt{1-x^{2}}.$

Решение. 1) Здесь $y$ есть сложная функция одной независимой переменной $x$. Пользуясь формулой (**), получим

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\partial y}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial y}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}=2ue^{v}\cos x+u^{2}e^{v}(-\sin x).$$

2) $p$ есть сложная функция двух переменных $x$ и $y$. По общим формулам (*), найдем

$$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=vu^{v-1}\cdot \frac{1}{x-y}+u^{v}\ln u\cdot \frac{1}{y}\cdot e^{\frac{x}{y}};$$

$$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial y}=\frac{\partial p}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial p}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}=vu^{v-1}\cdot \frac{1}{y-x}+u^{v}\ln u\cdot \left (- \frac{x}{y^{2}}\cdot e^{\frac{x}{y}} \right ).$$

3) $z$ есть сложная функция одной переменной $x$ вида: $z=F(x,v,w),\: v=f(x),\: w=\varphi (x)$. Формулу для полной производной такой функции получим, полагая $u=x$ в формуле (**):

$$\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}+\frac{\partial z}{\partial w}\cdot \frac{dw}{dx}.$$

Согласно этой формуле, найдем

$$\displaystyle \frac{dz}{dx}=\sin v\cos w+x\cos v\cos w\cdot \frac{2x}{x^{2}-1}-x\sin v\sin w\cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$