Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
Для отыскания указанных интегралов от функций, содержащих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен
В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести к формулам интегрирования посредством преобразований, применяемых в решении следующих задач.
Пример 1. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
Решение. 1) Выделив из квадратного трехчлена полный квадрат , записав вместо и интегрируя, получим
по формуле 8, при
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат
и заменим переменную , полагая . Тогда получим: ,
Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формулам:
Возвращаясь к переменной , окончательно получим
3) Выделяем полный квадрат , вводим новую переменную ; тогда получим и
4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
Интеграл преобразуем к формулам 2 и 9:
Окончательно получим