Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Практикум по математическому анализу. Урок 73

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Практикум по математическому анализу. Урок 73

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

\displaystyle \int \frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}dx;\: \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx;\: \int \sqrt{ax^{2}+bx+c}\, dx.


Для отыскания указанных интегралов от функций, содержащих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен

\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} +\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right ]=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}\pm k^{2} \right ].

В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести к формулам интегрирования посредством преобразований, применяемых в решении следующих задач.
Пример 1. Найти интегралы:
1) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4x+8};
2) \displaystyle \int \frac{7-8x}{2x^{2}-3x+1}dx;
3) \displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}+6x+9}dx;
4) \displaystyle \int \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx.
Решение. 1) Выделив из квадратного трехчлена полный квадрат \displaystyle x^{2}+4x+8=(x+2)^{2}+4, записав d(x+2) вместо dx и интегрируя, получим

\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4x+8}=\int \frac{d(x+2)}{(x+2)^{2}+4}=\frac{1}{2}\textrm{arctg}\, \frac{x+2}{2}+C,


по формуле 8, при \displaystyle u=x+2,\: a=2.
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат

\displaystyle 2x^{2}-3x+1=2\left ( x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2} \right )=2\left [ \left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2} +\frac{1}{2}-\frac{9}{16}\right ]=2\left [ \left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2} -\frac{1}{16}\right ]

и заменим переменную x, полагая \displaystyle x-\frac{3}{4}=t. Тогда получим: dx=dt,

\displaystyle I=\int \frac{(7-8x)dx}{2x^{2}-3x+1}=\frac{1}{2}\int \frac{1-8t}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt.

Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формулам:

\displaystyle I=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt-2\int \frac{2tdt}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{4}}\ln \left | \frac{t-\frac{1}{4}}{t+\frac{1}{4}} \right |-2\ln \left | t^{2}-\frac{1}{16} \right |+C.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получим

\displaystyle I=\ln \left | \frac{x-1}{x-0,5} \right |-2\ln \left | x^{2}-1,5x+0,5 \right |+C.

3) Выделяем полный квадрат \displaystyle x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}, вводим новую переменную t=x+3; тогда получим dx=dt и

\displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}+6x+9}dx=\int \frac{3t-11}{t^{2}}dt=\int \left ( \frac{3}{t}+\frac{11}{t^{2}} \right )dt=3\int \frac{dt}{t}-


\displaystyle -11\int t^{-2}dt=3\ln \left | t \right |+11t^{-1}+C=3\ln \left | x+3 \right |+\frac{11}{x+3}+C.

4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:

\displaystyle \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx=-2x+1+\frac{x-1}{2x-3x^{2}},

затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:

\displaystyle J=\int \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx=-2\int xdx+\int dx+\int \frac{(x-1)dx}{2x-3x^{2}}=-x^{2}+x+J_{1}.

Интеграл \displaystyle J_{1} преобразуем к формулам 2 и 9:

\displaystyle J_{1}=-\frac{1}{3}\int \frac{(x-1)dx}{x^{2}-\frac{2}{3}x}=-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}\int \frac{d\left ( x-\frac{1}{3} \right )}{\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}-\frac{1}{9}}=-\frac{1}{3}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |+


\displaystyle +\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{3}}\ln \left | \frac{x-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} \right |=-\frac{1}{3}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |+\frac{1}{2}\ln \left | \frac{x-\frac{2}{3}}{x} \right |.


Окончательно получим

\displaystyle J=C-x^{2}+x+\frac{1}{6}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |-\frac{1}{2}\ln \left | x \right |.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

шесть − пять =