Интегрирование некоторых иррациональных функций (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 78

Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции:
I. Интеграл $\displaystyle \int R(x,x^{\alpha },x^{\beta },...)dx$, где $R$ — рациональная функция,
$\displaystyle \alpha =\frac{m_{1}}{n_{1}},\beta =\frac{m_{2}}{n_{2}},...$ — рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается в элементарных функциях с помощью подстановки $\displaystyle x=t^{k}$, где $k$ — общий знаменатель всех дробных показателей у $x$.
Интегралы более общего вида $\displaystyle \int R\left [ x,(ax+b)^{\alpha },(ax+b)^{\beta },... \right ]dx$ или $\displaystyle \int R\left [ x,\left ( \frac{ax+b}{cx+d} \right )^{\alpha },\left ( \frac{ax+b}{cx+d} \right )^{\beta },... \right ]dx$ находятся (приводятся к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок: $\displaystyle ax+b=t^{k}$ или $\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}=t^{k}$.
II. К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
$\displaystyle \int R(x,\sqrt{a^{2}-x^{2}})dx$ — подстановкой $x=a\sin t$;
$\displaystyle \int R(x,\sqrt{a^{2}+x^{2}})dx$ — подстановкой $x=a\, \textrm{tg}\, t$;
$\displaystyle \int R(x,\sqrt{x^{2}-a^{2}})dx$ — подстановкой $\displaystyle x=\frac{a}{\cos t}$.
III. Интеграл от дифференциального бинома $\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$ сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:
1) когда $p$ — целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона,
2) когда $\displaystyle \frac{m+1}{n}$ - целое число, — подстановкой $\displaystyle a+bx^{n}=z^{r}$,
3) когда $\displaystyle \frac{m+1}{n}+p$ — целое число, — подстановкой $\displaystyle a+bx^{n}=x^{n}z^{r}$, где $r$ — знаменатель дроби $p$.
IV. Интеграл $\displaystyle \int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx$, где $P_{n}(x)$ — многочлен $n$-й степени, $v=ax^{2}+bx+c$, можно найти по формуле

$$\displaystyle \int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx=(A_{1}x^{n-1}+A_{2}x^{n-2}+...+A_{n})\sqrt{v}+B\int \frac{dx}{\sqrt{v}},$$

где $\displaystyle A_{1},A_{2},...,B$ — постоянные, определяемые путем дифференцирования этого равенства, умножения его на $\displaystyle \sqrt{v}$ и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях $x$. Подобным путем можно найти и интеграл

$$\displaystyle \int P_{n}(x)\sqrt{v}dx=\int \frac{vP_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx=(A_{1}x^{n+1}+A_{2}x^{n}+...+A_{n+2})\sqrt{v}+B\int \frac{dx}{\sqrt{v}}.$$

V. Интеграл $\displaystyle \int \frac{(Ax+B)dx}{(x-\alpha)\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$ можно найти подстановкой $\displaystyle x-\alpha =\frac{1}{t}$.