Интегрирование посредством замены переменной. Практикум по математическому анализу. Урок 71

Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла $\displaystyle \int f(x)dx$ можно заменить переменную $x$ новой переменной $t$, связанной с $x$ подходящей формулой $x=\varphi (t)$. Определив из этой формулы $dx=\varphi' (t)dt$ и подставляя, получим

$$\displaystyle \int f(x)dx=\int f\left [ \varphi (t) \right ]\varphi '(t)dt=\int F(t)dt.$$

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования $t$ будет найден, то преобразовав результат к переменной $x$, пользуясь исходной формулой $x=\varphi (t)$ получим искомое выражение заданного интеграла.
Например, чтобы найти интеграл $\displaystyle I=\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$, положим $\displaystyle x=t^{2}$.
Тогда $dx=2tdt$ и

$\displaystyle I=\int \frac{2tdt}{1+t}=2\int \frac{t+1-1}{t+1}dt=2\int \left ( 1-\frac{1}{t+1} \right )dt=$
$\displaystyle =2\int dt-2\int \frac{dt}{t+1}=2t-2\ln(t+1)+C=2\sqrt{x}-2\ln (\sqrt{x}+1)+C.$

Или иначе: пусть $\displaystyle t=1+\sqrt{x}$. Отсюда $\displaystyle x=(t-1)^{2},\: dx=2(t-1)dt$ и

$\displaystyle I=\int \frac{2(t-1)dt}{t}=2\int \left ( 1-\frac{1}{t} \right )dt=2\int dt-2\int \frac{dt}{t}=$
$\displaystyle =2t-2\ln t+C=2(1+\sqrt{x})-2\ln (1+\sqrt{x})+C.$

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба они правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно брать как формулу $x=\varphi (t)$, выражающую $x$ через $t$, так и формулу $t=\psi (x)$, выражающую $t$ через $x$.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов интегралов даются ниже.
Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{2xdx}{x^{4}+3};$
2) $\displaystyle \int \frac{\sin xdx}{\sqrt{1+2\cos x}};$
3) $\displaystyle \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x^{2}+a}};$
4) $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx;$
5) $\displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{e^{y}+1}};$
6) $\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{(1-t^{2})^{3}}}.$
Решение.
1) Полагаем $\displaystyle x^{2}=t$; дифференцируем $2xdx=dt$, подставляем в подынтегральное выражение, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной $x$:

$$\displaystyle \int \frac{2xdx}{x^{4}+3}=\int \frac{dt}{t^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{x^{2}}{\sqrt{3}}+C.$$

2) Положим $1+2\cos x=t$. Тогда $-2\sin xdx=dt$ и

$\displaystyle \int \frac{\sin xdx}{\sqrt{1+2\cos x}}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=$
$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}}+C=C-\sqrt{t}=C-\sqrt{1+2\cos x}.$

3) Применим подстановку $\displaystyle x^{2}+a=z$, имеем $2xdx=dz$ и

$$\displaystyle \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x^{2}+a}}=\frac{1}{2}\int \frac{dz}{\sqrt[3]{z}}=\frac{1}{2}\int z^{-\frac{1}{3}}dz=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}z^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(x^{2}+a)^{2}}+C.$$

4) Подстановка $1+\ln x=v$ дает $\displaystyle \frac{dx}{x}=dv$ и

$$\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx=\int \sqrt{v}dv=\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{(1+\ln x)^{3}}+C.$$

5) Берем подстановку $\displaystyle e^{y}+1=t^{2}$, дифференцируем $\displaystyle e^{y}dy=2tdt$, определяем $\displaystyle dy=\frac{2tdt}{e^{y}}=\frac{2tdt}{t^{2}-1}$, подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной $y$:

$$\displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{e^{y}+1}}=\int \frac{2tdt}{t(t^{2}-1)}=2\int \frac{dt}{t^{2}-1}=2\cdot \frac{1}{2}\ln \frac{t-1}{t+1}+C=\ln \frac{\sqrt{e^{y}+1}-1}{\sqrt{e^{y}+1}+1}+C.$$

6) Полагая $t=\sin \varphi$, получим $dt=\cos \varphi d\varphi$,

$$\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{(1-t^{2})^{3}}}=\int \frac{d\varphi }{\cos ^{2}\varphi }=\textrm{tg}\,\varphi +C=\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }+C=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}+C.$$