Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом. Урок 81

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $\left [ a,b \right ]$ и если: 1) разделить этот отрезок произвольным способом на $n$ частичных отрезков длиной $\Delta x_{1},\Delta x_{2},\Delta x_{3},...,\Delta x_{n}$, 2) выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке
$\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},...,\xi _{n}$, 3) вычислить значения функции $f(x)$ в выбранных точках и 4) составить сумму

$$\displaystyle f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+f(\xi _{3})\Delta x_{3}+...+f(\xi _{n})\Delta x_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i},$$

то она называется интегральной суммой функции $f(x)$ на отрезке $\left [ a,b \right ]$.
По-разному деля отрезок $\left [ a,b \right ]$ на $n$ частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке можно для всякой заданной функции $f(x)$ и всякого заданного отрезка $\left [ a,b \right ]$ составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании $n$ и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, имеют один общий предел. Этот общий предел всех интегральных сумм функции $f(x)$ на отрезке $\left [ a,b \right ]$ называется определенным интегралом от $f(x)$ в пределах от $a$ до $b$ и обозначается $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx$
Простейшие свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

$$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx.$$

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: $\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)dx=0.$
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

$$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.$$

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

$$\displaystyle \int_{a}^{b}\left [f_{1}(x)+f_{2}(x)-f_{3}(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx-\int_{a}^{b}f_{3}(x)dx.$$

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

$$\displaystyle \int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx.$$

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона —Лейбница

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int f(x)dx \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{a}^{b}=F(x)\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{a}^{b}=F(b)-F(a),\, \, \, \, (*)$$

— определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример. Вычислить интегралы:

1) $\int_{2}^{3}3x^{2}dx;$ 2) $\int_{0}^{4}(1+e^{\frac{x}{4}})dx;$ 3) $\int_{-1}^{7}\frac{dt}{\sqrt{3t+4}}dt;$ 4) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2a}}(x+3)\sin axdx.$

Решение. Применяя формулу Ньютона —Лейбница (*) и свойства определенного интеграла, получим:

1) $\int_{2}^{3}3x^{2}dx=3\int_{2}^{3}x^{2}dx=x^{3} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{2}^{3}=3^{3}-2^{3}=19.$

2) $\int_{0}^{4}(1+e^{\frac{x}{4}})dx=\int_{0}^{4}dx +4\int_{0}^{4}e^{\frac{x}{4}}d\frac{x}{4}=x+4e^{\frac{x}{4}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{4}=4+4e-4=4e.$

3) $\int_{-1}^{7}\frac{dt}{\sqrt{3t+4}}dt=\frac{1}{3}\int_{-1}^{7}(3t+4)^{-\frac{1}{2}}d(3t+4)=\frac{2}{3}(3t+4)^{\frac{1}{2}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{7}=\frac{2}{3}(5-1)=\frac{8}{3}.$

4) Здесь для нахождения неопределенного интеграла применяем формулу интегрирования по частям $\int udv=uv-\int vdu$.
Полагая $u=x+3$, $dv=\sin axdx$, получим $du=dx$,

$$v=\int \sin axdx=\frac{1}{a}\int \sin axd(ax)=-\frac{1}{a}\cos ax,$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{2a}}(x+3)\sin axdx=-\frac{x+3}{a}\cos ax+\frac{1}{a}\int \cos axdx \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\frac{\pi }{2a}}=$$

$$=-\frac{x+3}{a}\cos ax+\frac{1}{a^{2}}\sin ax \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\frac{\pi }{2a}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{3}{a}=\frac{1+3a}{a^{2}}.$$