Переменные величины и функции, их обозначение. Практикум по математическому анализу. Урок 1

Интервалом от $a$ до $b$ называется совокупность всех чисел $x$, удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
1) $\displaystyle a\leq x\leq b$; 2) $\displaystyle a<x<b$; 3) $\displaystyle a\leq x<b$; 4) $\displaystyle a<x\leq b$. Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается $\displaystyle [a,b]$; открытый интервал 2 обозначается $\displaystyle (a,b)$; полуоткрытые интервалы 3 и 4 обозначаются соответственно $\displaystyle [a,b)$ и $\displaystyle (a,b]$.
Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного или нескольких интервалов и из отдельных точек.
Взаимосвязанное изменение переменных называется функциональной зависимостью.
При изучении функциональной зависимости между двумя переменными полагают, что одна из них является независимой переменной, которой можно придавать произвольные значения из области ее изменения, а другая — зависимой от нее. Независимая переменная называется аргументом, а зависимая — функцией.
Н. И. Лобачевскому принадлежит следующее определение понятия функции: переменная $y$ называется функцией переменной $x$, если каждому значению $x$, из области ее изменения, соответствует определенное значение $y$.
Для сокращения записей употребляется символическое обозначение функций: $\displaystyle y=f(x),S=\phi (t),u=F(v),...$.
Если функция от $x$ обозначена символом $\displaystyle P(x)$, то $\displaystyle P(a)$ обозначает частное значение этой функции при $\displaystyle x=a$.
Так, если $\displaystyle P(x)=x^{2}+2x-5$, то $\displaystyle P(3)=3^{2}+2\cdot 3-5=10;\; P(0)=-5;\; P(a)=a^{2}+2a-5.$
Основными элементарными функциями называются: 1) степенная функция $\displaystyle y=x^{n}$; 2) показательная функция $\displaystyle y=a^{x},a>0$; 3) логарифмическая функция $\displaystyle y=log_{a}x,a>0$; 4) тригонометрические функции $\displaystyle y=\sin x,y=\cos x,y=tg\: x,y=ctg\: x,y=\sec x,y=cosec\: x$; 5) обратные тригонометрические функции $\displaystyle y=\arcsin x,y=\arccos x,y=arctg\: x,y=arcctg\: x$.
Функции, заданные одной формулой посредством конечного числа арифметических действий и операций, определяемых основными элементарными функциями, называются элементарными. Например:
$\displaystyle y=5x^{3}\sin 2x;\; y=\lg \frac{1+tg\sqrt{x}}{x-ctg^{2}x}$.
Все остальные функции называются неэлементарными. Например, неэлементарной является функция, определяемая несколькими различными формулами для различных интервалов изменения аргумента:

$$\displaystyle y=\left \{ \begin{matrix} x^{3},\; x\leq 0\\ x+2,\; x>0. \end{matrix} \right.$$

Функция $\displaystyle f(x)$, обладающая свойством $\displaystyle f(x)=f(-x)$, называется четной, например $\displaystyle x^{2},\cos x$, а обладающая спойством $\displaystyle f(x)=-f(-x)$ — называется нечетной, например $\displaystyle x^{3},\sin x$. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными, например $\displaystyle a^{x},\sqrt{x}$.