Переменные величины и функции, их обозначение. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 3

Пример 3. Найти корни $\displaystyle x_{1}$ и $\displaystyle x_{2}$ функции $\displaystyle F(x)=x^{2}+10x+9$ и вычислить ее частные значения при $x$, равном среднему арифметическому и среднему геометрическому этих корней.
Решение. Корнями функции называются значения аргумента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции $\displaystyle F(x)$, приравняв ее нулю:
$\displaystyle x^{2}+10x+9=0$, откуда $\displaystyle x_{1}=-9,x_{2}=-1$.
Среднее арифметическое корней $\displaystyle x_{1}$ и $\displaystyle x_{2}$ равно их полусумме $\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-9-1}{2}=-5$, а среднее геометрическое — квадратному корню из их произведения $\displaystyle \sqrt{x_{1}x_{2}}=\sqrt{9}=3$. Искомые частные значения функции $F(x)$ будут:
$\displaystyle F(-5)=(-5)^{2}+10\cdot (-5)+9=-16$;
$\displaystyle F(3)=3^{2}+10\cdot 3+9=48$.
Пример 4. Дана функция $\displaystyle P(x)=x^{2}-2x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}$.
Показать, что $\displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=P(x)$.
Решение. Найдем $\displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )$, подставляя $\displaystyle \frac{1}{x}$ вместо $x$ в данное аналитическое выражение функции $P(x)$,
$\displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}-2\left ( \frac{1}{x} \right )+\frac{1}{\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}}-\frac{2}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}+x^{2}-2x$.
Следовательно, $\displaystyle P\left ( \frac{1}{x} \right )=P(x)$ при любом значении $x$. Например,
$\displaystyle P\left ( \frac{1}{2} \right )=P(2)=-\frac{3}{4};\; P(-10)=P(-0,1)=120,21$.
Пример 5. Определить, какая из данных функций является четной, нечетной или ни четной ни нечетной:
$\displaystyle 1)\: f(x)=\frac{x^{2}}{\sin 2x};\; 2)\: \phi (x)=4-2x^{4}+\sin ^{2}x;$
$\displaystyle 3)\: u(x)=x^{3}+2x-1;\; y(x)=\frac{1+a^{kx}}{1-a^{kx}}.$
Решение. Чтобы определить, будет ли некоторая функция $\displaystyle Q(x)$ четной или нечетной, необходимо найти $\displaystyle Q(-x)$ . Заменяя $x$ через $-x$, получим:
1) $\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{\sin 2(-x)}=\frac{x^{2}}{-\sin 2x}=-\frac{x^{2}}{\sin 2x},$
т. е. $f(-x)=-f(x)$, значит, функция $f(x)$ нечетная;
2) $\displaystyle \phi (-x)=4-2(-x)^{4}+\sin ^{2}(-x)=4-2x^{4}+\sin ^{2}x$,
т. е. $\displaystyle \phi (-x)=\phi (x)$, следовательно, функция $\displaystyle \phi (x)$ - четная;
3) $\displaystyle u(-x)=(-x)^{3}+2(-x)-1=-x^{3}-2x-1$,
здесь $\displaystyle u(-x)\neq u(x)$ и $\displaystyle u(-x)\neq -u(x)$, поэтому функция $\displaystyle u(x)$) не четная и не нечетная;
4) $\displaystyle y(-x)=\frac{1+a^{-kx}}{1-a^{-kx}}=\frac{a^{kx}+1}{a^{kx}-1}$
(числитель и знаменатель первой дроби умножены на $\displaystyle a^{kx}$), т. е. $y(-x)=-y(x)$, следовательно, функция $y(x)$ - нечетная.