Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67

Отыскание функции $F(x)$ по известному ее дифференциалу $dF(x)=f(x)dx$ [или по известной её производной $F'(x)=f(x)$], т. е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции $f(x)$.
Всякая непрерывная функция $f(x)$ имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым: если $F(x)$ есть первообразная от $f(x)$, т. е. если $F'(x)=f(x)$, то и $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная, есть также первообразная от $f(x)$, поскольку $(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)$.

Общее выражение $F(x)+C$ совокупности всех первообразных от функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается знаком $\int$:

$\int f(x)dx=F(x)+C,$ если $d\left ( F(x)+C \right)= f(x)dx.$

Геометрически, в системе координат $xOy$, графики всех первообразных функций от данной функции $f(x)$ представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра $C$, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси $Oy$ (рис. 86).
Свойства неопределенного интеграла.
I. $\displaystyle \frac{d}{dx}\left [ \int f(x)dx \right ]=f(x)$ или $\displaystyle d \int f(x)dx=f(x)dx.$
II. $\displaystyle \int F'(x)dx=F(x)+C$ или $\displaystyle \int dF(x)=F(x)+C.$
III. $\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx,$ т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
IV. $\displaystyle \int \left [ f_{1}(x)+f_{2}(x)-f_{3}(x) \right ]dx=\int f_{1}(x)dx+\int f_{2}(x)dx-\int f_{3}(x)dx,$ т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых.

Основные формулы интегрирования:

1. $\displaystyle \int u^{a}du=\frac{u^{a+1}}{a+1}+C,\: a\neq -1.$
2. $\displaystyle \int u^{-1}du=\int \frac{du}{u}=\int \frac{u'}{u}dx=\ln \left | u \right |+C.$
3. $\displaystyle \int a^{u}du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C;\: \int e^{u}du=e^{u}+C.$
4. $\displaystyle \int \sin u\, du=-\cos u+C.$
5. $\displaystyle \int \cos u\, du=\sin u+C.$
6. $\displaystyle \int \frac{du}{\cos ^{2}u}=tg \, u+C.$
7. $\displaystyle \int \frac{du}{\sin ^{2}u}=-ctg \, u+C.$
8. $\displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\, \frac{u}{a}+C.$
9. $\displaystyle \int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln \left | \frac{u-a}{u+a} \right |+C.$
10. $\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\textrm{arcsin}\, \frac{u}{a}+C.$
11. $\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a}}=\ln \left | u+\sqrt{u^{2}+a} \right |+C.$
В этих формулах $a$ — постоянная, $u$ — независимая переменная или любая (дифференцируемая) функция от независимой переменной. Например:

Интеграл $\displaystyle I_{1}=\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx$ представляет формулу 1 при $\displaystyle u=x,\, a=\frac{1}{2}$. Согласно этой формуле, $\displaystyle I_{1}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+C$.
Интеграл $\displaystyle I_{2}=\int 3^{x}dx$ представляет формулу 3 при $\displaystyle u=x,\, a=3$. Согласно этой формуле, $\displaystyle I_{2}=\frac{3^{x}}{\ln 3}+C.$
Интеграл $\displaystyle I_{3}=\int \frac{dt}{t^{2}+3}$ представляет формулу 8 при $$\displaystyle u=t,\, a=\sqrt{3}$. По этой формуле $\displaystyle I_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C$.
Интеграл $\displaystyle I_{4}=\int \frac{d\varphi }{\sqrt{\varphi ^{2}-5}}$ представляет формулу 11 при $\displaystyle u=\varphi ,\, a=-5$. По этой формуле $\displaystyle I_{4}=\ln \left | \varphi +\sqrt{\varphi ^{2}-5} \right |+C$.
Интеграл $\displaystyle I_{5}=\int \frac{2x}{x^{2}+7}dx=\int \frac{(x^{2}+7)'}{x^{2}+7}dx=\int \frac{d(x^{2}+7)}{x^{2}+7}$ представляет формулу 2 при $u=x^{2}+7$, так как $(x^{2}+7)'=2x$. По этой формуле $I_{5}=\ln (x^{2}+7)+C$. Здесь опущен знак абсолютной величины, ибо всегда $x^{2}+7>0$.
Вообще, в формулах 2, 9, 11 следует писать знак абсолютной величины только в тех случаях, когда логарифмируемое выражение может иметь отрицательные значения.
Интеграл $\displaystyle I_{6}=\int 5\sin 5tdt=\int \sin 5td(5t)$ представляет формулу 4 при $u=5t$. Поэтому $I_{6}=-\cos 5t+C$.
Интеграл $\displaystyle I_{7}=\int e^{\sin \varphi }\cos \varphi \, d\varphi =\int e^{\sin \varphi }d(\sin \varphi )$, так как $\cos \varphi d\varphi =d\sin \varphi$. По формуле 3 при $u=\sin \varphi$ получим: $I_{7}=e^{\sin \varphi }+C$.
Интеграл $\displaystyle I_{8}=\int \frac{e^{x}dx}{e^{2x}-1}=\int \frac{de^{x}}{(e^{x})^{2}-1}$, так как $e^{x}dx=de^{x}$. По формуле 9 при $u=e^{x},\, a=1$, получим $\displaystyle I_{8}=\frac{1}{2}\ln \frac{\left | e^{x} -1\right |}{e^{x}+1}+C$.
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, ибо, как было упомянуто, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.
В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этой формулы.
Во всех других случаях задача интегрирования состоит в том, чтобы путем подходящих преобразований привести данный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирования, если это возможно.