Приближенное вычисление определенных интегралов. Практикум по математическому анализу. Урок 96

Приближенное вычисление определенных интегралов. Практикум по математическому анализу. Урок 96

Для приближенного вычисления определенных интегралов имеется несколько способов. Если функция $f(x)$ задана формулой или таблицей, то приближенное значение определенного интеграла $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx$ можно найти следующим путем:

1) разделить интервал интегрирования [a;b] точками $\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n-1}$ на $n$ равных частей $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$;
2) вычислить значения подынтегральной функции $y=f(x)$ в точках деления $\displaystyle y_{0}=f(a),y(1)=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2}),...,y_{n-1}=f(x_{n-1}),y_{n}=f(b)$;
3) воспользоваться одной из приближенных формул. Наиболее употребительны следующие приближенные формулы, основанные на геометрическом представлении определенного интеграла в виде площади криволинейной трапеции.

I. Формула прямоугольников

$$\displaystyle \int_{a}^{b}ydx\approx h(y_{0}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1})=h\sum_{i=0}^{n-1}y_{i}\; \; \; (1)$$

или

$$\displaystyle \int_{a}^{b}ydx\approx h(y_{1}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n})=h\sum_{i=1}^{n}y_{i}.\; \; \; (1a)$$

Геометрически (рис. 1) по этой формуле площадь криволинейной трапеции $aABb$, которая соответствует интегралу $\displaystyle \int_{a}^{b}ydx$, заменяется суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Погрешность формулы прямоугольников

$$\displaystyle \delta (n)\leq \frac{(b-a)^{2}}{n}y'_{max},$$

где $\displaystyle y'_{max}$ — наибольшее значение $\left | y' \right |$ в интервале [a,b].
II. Формула трапеций

$$\displaystyle \int_{a}^{b}ydx\approx h\left ( \frac{y_{0}+y_{n}}{2}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1} \right )=h\left ( \frac{y_{0}+y_{n}}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}y_{i} \right ).\; \; \; (2)$$

Геометрически (рис. 2) по этой формуле площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихованных трапеций.

Погрешность формулы трапеций

$$\displaystyle \delta (n)\leq \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}y''_{max},$$

где $\displaystyle y''_{max}$ — наибольшее значение $\displaystyle \left |y'' \right |$ в интервале [a,b].

III. Формула параболических трапеций (Симпсона); $n$ — число четное.

$$\displaystyle \int_{a}^{b}ydx\approx\frac{h}{3}\left [ y_{0}+y_{n}+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{n-1})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{n-2}) \right ].\; \; \; (3)$$

Геометрически (рис. 3) по этой формуле площадь каждой пары вертикальных полосок $\displaystyle x_{i}P_{i}P_{i+2}x_{i+2}$ заменяется площадью одноименной параболической трапеции, получаемой при замене соответствующего участка кривой $y=f(x)$ дугой параболы $\displaystyle y=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$ (с вертикальной осью), проходящей через три точки кривой с абсциссами $\displaystyle x_{i},x_{i+1}=x_{i}+h$ и $\displaystyle x_{i+2}=x_{i}+2h$.

Погрешность формулы Симпсона

$$\displaystyle \delta (n)\leq \frac{(b-a)^{5}}{180n^{4}}y^{(4)}_{max},$$

где $\displaystyle y^{(4)}_{max}$ — наибольшее значение $\displaystyle \left |y^{(4)} \right |$ в интервале [a;b].

Очевидно, все указанные приближенные формулы будут тем точнее, чем больше взято $n$, т. е. при достаточно большом значении $n$ посредством каждой из этих формул можно вычислить приближенное значение определенного интеграла с любой желаемой точностью.
При одном и том же значении $n$ обычно вторая формула точнее первой, а третья точнее второй.