Решение задач на формулу Байеса. Часть 1

Задача №1. Имеется 10 оданаковых по виду урн, в 9-й из которых находятся по 2 черных и 2 белых шара, а в одной - 5 белых и 1 черный. Из наудачу выбранной урны извлечен шар. Извлеченный шар оказался белым. Чему равна вероятность того, что этот шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
Решение. Имеется 2 группы урн с различным составом шаров; 9 из имеющихся урн относятся к первой группе, одна урна - ко второй группе. Испытание состоит в том, что из наудачу выбранной урны извлекается шар. Рассмотрим гипотезы:
$B_{1}$ - выбрана урна первой группы;
$B_{2}$ - выбрана урна второй группы и
событие $A$ - извлечение белого шара.
Вероятности гипотез $B_{1}$ и $B_{2}$ равны: $P(B_{1})=9/10=0,9,\: P(B_{2})=1/10=0,1.$ Гипотезы $B_{1}$ и $B_{2}$ составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей гипотез равна $P(B_{1})+ P(B_{2})=0,9+0,1=1.$
Событие $A$ может произойти только или вместе с событием $B_{1}$, или с событием $B_{2}$. До проведения испытания условная вероятность события $A$, вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием $B_{1}$, равна $P_{B_{1}}(A)=2/4=1/2$ (так как в каждой из урн первой группы среди четырех имеющихся шаров находятся 2 белых шара). До проведения испытания условная вероятность события $A$, вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием $B_{2}$, равна $P_{B_{2}}(A)=5/6$ (так как в урне второй группы среди шести имеющихся шаров находятся 5 белых).
Пусть событие $A$ произошло: извлеченный из некоторой урны шар - белый. Переоценим вероятность второй гипотезы. По формуле (1) получим

$$P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,1\cdot \frac{5}{6}}{0,1\cdot \frac{5}{6}+0,9\cdot \frac{1}{2}}=0,15625.$$

Задача №2. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго - 20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором - 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена на первом автомате или же она изготовлена на втором автомате?
Решение. Испытание состоит в проверке качества детали. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - проверена деталь, изготовленная на первом автомате;
$B_{2}$ - проверена деталь, изготовленная на втором автомате;
$A$ - проверенная деталь является бракованной.
Безусловные вероятности гипотез - событий $B_{1}$ и $B_{2}$ до проведения испытания равны: $P(B_{1})=0,8,\: P(B_{2})=0,2.$ Гипотезы $B_{1}$ и $B_{2}$ составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей этих событий равна $P(B_{1})+P(B_{2})=1$.
На первом автомате брак составляет 1%, поэтому $P_{B_{1}}(A)=0,01$. На втором автомате брак составляет 5%, поэтому $P_{B_{2}}(A)=0,05$.
Событие $A$ может наступить или вместе с событием $B_{1}$, или с событием $B_{2}$.
Пусть событие $A$ произошло. Переоценим вероятности гипотез. По формуле Бейеса найдем:

$$P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,8\cdot 0,01}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{4}{9};$$

$$P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,2\cdot 0,05}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{5}{9}.$$

Получено, что $P_{A}(B_{2})>P_{A}(B_{1})$. Таким образом, более вероятно, что проверенная деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.

Задача №3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найта вероятность того, что его проверил второй товаровед.
Решение. Испытание состоит в проверке на стандартность одного изделия. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - изделие проверил первый товаровед;
$B_{2}$ - изделие проверил второй товаровед;
$A$ - ставдартное изделие при проверке признано стандартным.
Безусловные вдюятности гипотез - событий $B_{1}$ и $B_{2}$ до проведения испытания равны $P(B_{1})=0,55,\: P(B_{2})=0,45.$ Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, т. е. условная вероятность события $A$, вычисленная при условии, что оно произошло вместе с событием $B_{1}$, равна $P_{B_{1}}(A)=0,9$. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным вторым товароведом, т. е. условная вероятность события $A$ вычисленная при условии, что оно произошло вместе с событием $B_{2}$, равна $P_{B_{2}}(A)=0,98$.
Известно, что событие $A$ наступило. Переоценим верошность события . По формуле (1) при n = 2 найдем:

$$P_{A}(B_{2})=\frac{0,45\cdot 0,98}{0,55\cdot 0,9+0,45\cdot 0,98}\approx 0,4712.$$