Решение задач на формулу Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 47

Задача 3. Вычислить с точностью до $10^{-6}$ приближенное значение:
1) $\cos 5^{\circ}$; 2) $\sin 49^{\circ}$; 3) $\sqrt[4]{83}$; 4) $\sqrt[3]{121}$.
Решение. 1) Воспользуемся приближенной формулой для $\cos x$, полученной в решении задачи 1.
Подставляя в эту формулу радианную меру угла $5^{\circ}$, получим
$\displaystyle \cos 5^{\circ}=\cos \frac{\pi }{36}\approx 1-\frac{\pi ^{2}}{2! 36^{2}}+\frac{\pi ^{4}}{4! 36^{4}}-...\pm \frac{\pi ^{2n}}{(2n)! 36^{2n}}.$
Чтобы определить, сколько взять первых членов этой формулы для получения заданной точности вычисления, оценим величины последовательных остаточных членов $R_{2m+1}$:
$\displaystyle \left | R_{1} \right |\leq \frac{x^{2}}{2!}=\frac{\pi ^{2}}{2! 36^{2}}<0,004,$ $\displaystyle \left | R_{3} \right |\leq \frac{x^{4}}{4!}=\frac{\pi ^{4}}{4! 36^{4}}<0,000003,$ $\displaystyle \left | R_{5} \right |\leq \frac{x^{6}}{6!}=\frac{\pi ^{6}}{6! 36^{6}}<0,00000003.$

Величина $\left | R_{5} \right |<10^{-6}$. Поэтому для получения заданной точности вычисления достаточно взять три первых члена формулы, предшествующих $R_{5}$: $\displaystyle \cos 5^{\circ}\approx 1-\frac{\pi ^{2}}{2\cdot 36^{2}}+\frac{\pi ^{4}}{24\cdot 36^{4}}\approx 1-0,0038077+0,0000024\approx 0,96195.$
Здесь для обеспечения заданной точности значения числа $\pi$ и всех результатов промежуточных действий взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до $10^{-7}\: (\pi \approx 3,1415917)$.
2) Чтобы вычислить $\sin 49^{\circ}$, напишем формулу Тейлора для функции $\sin x$:
$\displaystyle \sin x=\sin a+\frac{x-a}{1!}\sin \left ( a+\frac{\pi }{2} \right )+\frac{(x-a)^{2}}{2!}\sin \left ( a+2\frac{\pi }{2} \right )+...+\frac{(x-a)^{n}}{n!}\sin \left ( a+n\frac{\pi }{2} \right )+R_{n},$
$\displaystyle R_{n}=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\sin \left [ a+\theta (x-a)+(n+1)\frac{\pi }{2} \right ],\: 0<\theta <1,$ $\displaystyle \left | R_{n} \right |\leq \frac{\left | x-a \right |^{n+1}}{(n+1)!},$ тaк кaк $\left | \sin \alpha \right |\leq 1.$ По этой формуле можно вычислять значения $\sin x$ при любых значениях $x$ и $a$ и с любой желаемой точностью, так как по мере увеличения числа членов в ней погрешность $R_{n}$ неограниченно убывает, стремясь к нулю. При этом чем меньше будет величина разности $\left | x-a \right |$, тем меньше потребуется брать первых членов этой формулы для достижения какой-либо заданной точности вычисления. Полагая $\displaystyle x=\frac{\pi }{180}\cdot 49$ и $\displaystyle a=\frac{\pi }{180}\cdot 45$, получим

$$\displaystyle x-a=\frac{\pi }{180}(49-45)=\frac{\pi }{45},$$

$$\displaystyle \sin 49^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+\frac{\pi }{1! 45}-\frac{\pi ^{2}}{2! 45^{2}}-\frac{\pi ^{3}}{3! 45^{3}}+...\pm \frac{\pi ^{n}}{n! 45^{n}} \right )+R_{n},$$

$$\left | R_{n} \right |\leq \frac{\pi ^{n+1}}{(n+1)! 45^{n+1}}.$$

Для определения числа первых членов этой формулы, обеспечивающих заданную точность вычисления, оцениваем величины последовательных остаточных членов $R_{n}$:

$$\displaystyle \left | R_{1} \right |\leq \frac{\pi ^{2}}{2! 45^{2}}<0,003,$$

$$\displaystyle \left | R_{2} \right |\leq \frac{\pi ^{3}}{3! 45^{3}}<0,00006,$$

$$\displaystyle \left | R_{3} \right |\leq \frac{\pi ^{4}}{4! 45^{4}}<0,0000009<10^{-6}.$$

Следовательно, заданная точность вычисления будет достигнута, если взять четыре первых члена формулы, предшествующих $R_{3}$:
$\displaystyle \sin 49^{\circ}\approx \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1+\frac{\pi }{45}-\frac{\pi ^{2}}{2\cdot 45^{2}}-\frac{\pi ^{3}}{6\cdot 45^{3}} \right )\approx 0,7071068(1+0,0698131-0,0024369-0,0000567)\approx 0,754709.$
(Значения $\pi ,\sqrt{2}$ и всех результатов промежуточных действий взяты с одним лишним знаком, т. е. с семью десятичными знаками.)
Иначе можно было вычислить $\sin 49^{\circ}$ по формуле Маклорена для функции $\sin x$, однако при этом для достижения заданной точности пришлось бы взять очень много членов этой формулы.
3) Преобразуем заданный корень
$\displaystyle \sqrt[4]{83}=\sqrt[4]{81+2}=3\left ( 1+\frac{2}{81} \right )^{\frac{1}{4}}$
и применим обобщенную формулу бинома (4), полученную в решении задачи 2.
Полагая $\displaystyle t=\frac{2}{81}$ и $\displaystyle m=\frac{1}{4}$ получим
$\displaystyle \sqrt[4]{83}=3\left ( 1+\frac{1}{162}-\frac{1}{162\cdot 108}+\frac{7}{162\cdot 108\cdot 486}-\frac{7}{162\cdot 108\cdot 486\cdot 54}+...+R_{n} \right ).$
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления $3\left | R_{n} \right |$, находим:

$$\displaystyle 3\left | R_{1} \right |<\frac{3}{162\cdot 108}<0,0002,$$

$$\displaystyle 3\left | R_{2} \right |<\frac{3\cdot 7}{162\cdot 108\cdot 468}<0,000003,$$

$$\displaystyle 3\left | R_{3} \right |<\frac{3\cdot 7}{162\cdot 108\cdot 468\cdot 54}<0,00000006.$$

Следовательно, для получения заданной точности вычисления достаточно взять сумму четырех членов биномиальной формулы, которые предшествуют остатку $R_{3}$: $\sqrt[4]{83}\approx 3(1+0,0061728-0,0000572+0,0000008)\approx 3,018349.$
4) Преобразуя данный корень

$$\displaystyle \sqrt[3]{121}=\sqrt[3]{125-4}=5\left ( 1-\frac{4}{125} \right )^{\frac{1}{3}}$$

и подставляя в биномиальную формулу $\displaystyle t=-\frac{4}{125}=-0,032$ и $\displaystyle m=\frac{1}{3}$, получим
$\displaystyle \sqrt[3]{121}=5\left ( 1-\frac{0,032}{3}-\frac{0,032^{2}}{9}-\frac{5\cdot 0,032^{3}}{81}-\frac{10\cdot 0,032^{4}}{243}-...+R_{n} \right ).$
Путем последовательных испытаний величины погрешности $5\left | R_{n} \right |$ находим
$\displaystyle 5\left | R_{3} \right |=\frac{5\left | \frac{1}{3} \left ( \frac{1}{3}-1 \right )\left ( \frac{1}{3}-2 \right )\left ( \frac{1}{3}-3 \right )\right |}{4!}\cdot 0,032^{4}(1-0,032\Theta)^{\frac{1}{3}-3-1}<10^{-6},$ т. е. находим, что заданная точность вычисления обеспечивается четырьмя первыми членами биномиальной формулы, предшествующими $R_{3}$:

$$\sqrt[3]{121}\approx 5(1-0,0106667-0,0001138-0,0000020)\approx 4,946088.$$

Подобным образом с помощью формулы Тейлора можно находить числовые значения всех других трансцендентных и сложных алгебраических функций. Именно таким путем составлены псе таблицы числовых значений для логарифмических, показательных, тригонометрических функций, для квадратных и кубических корней и для многих других функций.