Скорость изменения переменной величины. Практикум по математическому анализу. Урок 38

Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения.
Если величина $z$ изменяется с течением времени то скорость ее изменения определяется производной $\displaystyle \frac{dz}{dt}$.
Зная зависимость между двумя переменными $x$ и $y$, можно найти зависимость между скоростями их изменения по формуле производной сложной функции:

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}.$

Если точка движется прямолинейно, то ее скорость $v$ и ускорение $w$ определяются первой и второй производными от пути $s$ по времени $t$:

$\displaystyle v=\frac{ds}{dt};\: w=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}.$

Задача 1. Точка движется по кубической параболе $\displaystyle 12y=x^{3}$. Какая из ее координат изменяется быстрее?
Решение. Считая в уравнении параболы $y$ сложной функцией от времени $t$ и дифференцируя его по $t$, получим

$\displaystyle 12\frac{dy}{dt}=3x^{2}\frac{dx}{dt}.$

Отсюда найдем отношение скоростей изменения ординаты и абсциссы:

$\displaystyle \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt}=\frac{x^{2}}{4}.$

При $\displaystyle \left | x \right |<2$ это отношение будет меньше единицы, при $\displaystyle \left | x \right |=2$ — равно единице и при $\displaystyle \left | x \right |>2$ оно будет больше единицы. Следовательно:

1) при $\displaystyle -2<x<2$ ордината изменяется медленнее абсциссы; 2) при $\displaystyle x=\pm 2$ скорости изменения абсциссы и ординаты одинаковы; 3) при $x<-2$ и $x>2$ ордината изменяется быстрее абсциссы.
Задача 2. Резервуар, имеющий форму полушара с внутренним радиусом $R$ (м), наполняется водой со скоростью $Q$ (л) в секунду. Определить скорость повышения уровня воды в резервуаре в момент, когда он будет равен $0,5R$.
Решение. Обозначим через $h$ уровень воды в м и через $v$ ее объем в м³. Найдем зависимость между переменными $h$ и $v$, пользуясь формулой для объема шарового сегмента

$\displaystyle v=\pi h^{2}\left ( R-\frac{h}{3} \right ).$

Дифференцируя это равенство по времени $t$, найдем зависимость между скоростями изменения переменных $h$ и $v$:

$\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dh}\cdot \frac{dh}{dt}=\pi \left [ 2h\left ( R-\frac{h}{3} \right )-\frac{1}{3}h^{2} \right ]\frac{dh}{dt}=\pi (2Rh-h^{2})\frac{dh}{dt}.$

Полагая, согласно условию, $\displaystyle \frac{dv}{dt}=0,001Q$ (м³/сек) ,
получим $\displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{0,001Q}{\pi h(2R-h)}$ (м/сек).
При $\displaystyle h=\frac{R}{2}$ получим $\displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{0,004Q}{3\pi R^{2}}$ (м/сек).
Задача 3. Скорость прямолинейного движения тела пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.
Решение. По закону Ньютона сила $F$, вызывающая движение, пропорциональна ускорению

$\displaystyle F=k\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$.

Согласно условию $\displaystyle \frac{ds}{dt}=\lambda \sqrt{s}$. Дифференцируя это равенство, найдем

$\displaystyle \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{\lambda }{2\sqrt{s}}\cdot \frac{ds}{dt}=\frac{\lambda }{2\sqrt{s}}\cdot \lambda \sqrt{s}=\frac{\lambda ^{2}}{2}.$

Следовательно, действующая сила $\displaystyle F=\frac{k\lambda ^{2}}{2}(\textrm{const}).$
Задача 4. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону $\displaystyle x=A\sin w t$. Определить скорость и ускорение движения в момент времени $\displaystyle t=\frac{2\pi }{\omega }$. Показать, что ускорение движения пропорционально отклонению $x$.
Решение. Найдем скорость $v$ и ускорение $w$ движения в любой момент времени $t$:

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=A\omega \cos \omega t;\: \omega =\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A\omega ^{2}\sin \omega t.$

При $\displaystyle t=\frac{2\pi }{\omega },\: v=A\omega ,\: w=0.$
Сравнивая выражения для ускорения $w$ и для отклонения $x$, видим, что первое отличается от второго только постоянным множителем: $\displaystyle w=-w^{2}x.$