Векторное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Векторное произведение векторов"
Задача № 1. Даны модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\left|\vec{a} \right|=8,\; \left|\vec{b} \right|=15$, и их скалярное произведение $\vec{a}\vec{b}=96.$ Вычислить модуль векторного произведения $\left|[\vec{a}\vec{b}] \right|$.
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:

$$\vec{a}\vec{b}=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})},$$

откуда

$$\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{96}{8\cdot 15}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно,

$$\left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=8\cdot 15\cdot \frac{3}{5}=72.$$

Ответ: $\left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=72.$
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, чтобы векторы $3\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-3\vec{b}$ были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ удовлетворяют условию $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Доказать, что $\left[\vec{a}\vec{b} \right]=\left[\vec{c} \vec{a}\right]=\left[\vec{b}\vec{c} \right]$.
Задача № 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}=6\vec{a}-3\vec{b}$ и $\vec{AD}=3\vec{a}+2\vec{b}$, если$\left|\vec{a} \right|=3,\; \left|\vec{b} \right|=5$ и $\left(\hat{\vec{a}\vec{b}} \right)=\frac{\pi }{6}.$
Указания. Площадь параллелограмма численно равна длине вектора, полученного в результате векторного умножения двух данных векторов, т. е.

$$S_{ABCD}=\left|\vec{AB}\times \vec{AD} \right|=\left|(6\vec{a}-3\vec{b})(3\vec{a}+2\vec{b}) \right|.$$

Ответ: S параллелограмма= 157,5 кв. ед.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Зная стороны треугольника $\vec{AB}$={-3; -2; 6} и $\vec{BC}$= {- 2; 4; 4}, вычислить длину высоты $\vec{AD}$.
Решение. I способ приведен в видеоуроке
II способ. Указания. Найти Пр$_{\vec{BO}}\vec{BA}$ и затем по теореме Пифагора вычислить высоту $\vec{AD}$.
Ответ: $AD=\frac{8}{3}\sqrt{5}$ ед. длины.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 6. Решить самостоятельно. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах: $\vec{a}${6;0;2} и $\vec{b}${1,5; 2; 1}.
Указания. Одна из диагоналей параллелограмма будет равна сумме векторов сторон, а другая — разности векторов сторон параллелограмма (рис.1).

$$\vec{OC}=\vec{a}+\vec{b},\; \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}.\; S=\left|\vec{a}\times \vec{b} \right|.$$

Ответ: длины диагоналей $\frac{1}{2}\sqrt{277}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{101}$, площадь параллелограмма 13 кв.ед.
Задача № 7. Зная, что векторы $\vec{a}=\alpha \vec{i}+7\vec{j}+3\vec{k}$ и $\vec{b}= \vec{i}+\beta \vec{j}+2\vec{k}$ коллинеарны, вычислить коэффициенты α и β.
Указания. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, $\vec{a}\times \vec{b}=0$.
Ответ: $\alpha =\frac{3}{2};\; \beta =\frac{14}{3}$
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео