Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 18

Случай, когда при $\displaystyle x \to a$ или $\displaystyle x \to \infty$ функция $f(x)$ представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай $\displaystyle \infty -\infty$)
Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю $\displaystyle \frac{0}{0}$ или $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 1. Найти пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} \right );$
2) $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\left ( x-\sqrt{x^{2}+5x} \right );$
3) $\displaystyle \underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\left (\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } -tg\: \alpha \right );$
4) $\displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left (2 \textrm{cosec}\: 2x-\textrm{ctg}\: x\right ).$
Решение. Анализируя условие задачи, заключаем, что при указанном поведении аргумента функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай $\displaystyle \infty -\infty$).
После этого преобразуем данную функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности. Тем самым данный случай нахождения предела функции $\displaystyle \infty -\infty$ сводится к случаю $\displaystyle \frac{0}{0}$ или $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$.
1) Производим вычитание дробей и полученную в результате дробь сокращаем на х—2:
$\displaystyle \underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} \right )=\underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.$
2) Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на $x$:
$\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\left ( x-\sqrt{x^{2}+5x} \right )=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{(x-\sqrt{x^{2}+5x})(x+\sqrt{x^{2}+5x})}{x+\sqrt{x^{2}+5x}}=$
$=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^{2}+5x}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{-5}{1+\sqrt{1+\frac{5}{x}}}=\frac{-5}{1+1}=-\frac{5}{2}.$
3) Как и в предыдущей задаче, переводим иррациональность в знаменатель, затем умножаем числитель и знаменатель дроби на $\displaystyle \cos \alpha$:
$\displaystyle \underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\left (\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } -tg\: \alpha \right )=\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{sec}\: \alpha }{\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } +tg\: \alpha }=$
$=\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\frac{1}{\sqrt{\sin ^{2}\: \alpha +\cos \: \alpha } +\sin \alpha}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$
4) Тождественно преобразуем данную функцию к виду дроби, затем сокращаем дробь на $\displaystyle \sin x$:
$\displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left (2 \textrm{cosec}\: 2x-\textrm{ctg}\: x\right )=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{2}{\sin 2x}-\frac{\cos x}{\sin x} \right )=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{2-2\cos ^{2}x}{2\sin x\cos x}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{\sin x\cos x}=\underset{x \to 0 }{\textrm{lim}} \textrm{tg}\: x=0.$