Задачи на наибольшее (наименьшее) значения функции (окончание). Практикум по математическому анализу. Урок 56

Задача №1. Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) показаны на рис. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение. Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника через $x$ и $y$. Тогда его площадь $S=xy$. Выразим $y$ через $x$, исходя из подобия треугольников $BDC$ и $AEC$:

$$BD=11-x;\: DC=y-6;\: AE=8;\: EC=4.$$

Подставляя в пропорцию $\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AE}{EC}$, получим $\displaystyle \frac{11-x}{y-6}=\frac{8}{4}$, откуда $\displaystyle y=\frac{23-x}{2}$. Заменяя $y$ в выражении площади, имеем

$$\displaystyle S=\frac{1}{2}(23x-x^{2}),$$

где $x$ согласно условию задачи изменяется на отрезке [3; 11].

Ищем далее наибольшее значение функции $S(x)$ на указанном отрезке. $\displaystyle S'=\frac{1}{2}(23-2x);\: S'=0$ в точке $\displaystyle x=\frac{23}{2}$, но эта точка лежит вне рассматриваемого отрезка; $S'$ существует всюду, поэтому на отрезке $\left [ 3;11 \right ]$ нет ни одной критической точки. При изменении $x$ от 3 до 11 производная $S'>0$, а функция $S$ неизменно возрастает и достигает наибольшего значения на правом конце отрезка $x=11$.
Итак, прямоугольник, вырезанный из данного куска жести, будет иметь наибольшую площадь, когда точка $B$ совпадает с точкой $C$; $S_{H}=S(11)=66$ дм².
Задача №2. Выбрать место для постройки моста через реку, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая.

Решение. Сделаем схематический план местности вблизи указанных в условии объектов (рис. 58). Расстояния $a,b,c$ и $h$ согласно условию задачи являются постоянными. Если мост построен в указанном в плане месте, то длина дороги между пунктами $A$ и $B$

$$l=AC+h+DB.$$

Выбрав за независимую переменную $x$ расстояние $A_{1}C$, получим

$$AC=\sqrt{a^{2}+x^{2}},\: DB=\sqrt{b^{2}+(c-x)^{2}}$$

и

$$l=\sqrt{a^{2}+x^{2}}+h+\sqrt{b^{2}+(x-c)^{2}},$$

где $x$ изменяется на отрезке $\left [ 0;c \right ]$, что очевидно.
Теперь найдем наименьшее значение функции $l(x)$ на отрезке $\left [ 0;c \right ]$.
Найдем производную $l'$ и критические точки, лежащие внутри отрезка $\left [ 0;c \right ]$:

$$l'=\frac{x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}+\frac{x-c}{\sqrt{b^{2}+(x-c)^{2}}}=\frac{x\sqrt{b^{2}+(x-c)^{2}}+(x-c)\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{\sqrt{(a^{2}+x^{2})(b^{2}+(x-c^{2}))}};$$

$l'=0$, когда $x\sqrt{b^{2}+(x-c)^{2}}+(x-c)\sqrt{a^{2}+x^{2}}=0.$
Решая это уравнение, получим

$$x^{2}\left [ b^{2}+(x-c)^{2} \right ]=(x-c)^{2}(a^{2}+x^{2});\: b^{2}x^{2}=a^{2}(x-c)^{2};$$

$\displaystyle x_{1}=\frac{ac}{a-b}$ и $\displaystyle x_{2}=\frac{ac}{a+b}.$

Точка $x_{1}$ лежит вне отрезка $0\leq x\leq c$: при $a>b,\: x_{1}>c$; при $a<b,\: x_{1}<0$. Точка $x_{2}$ лежит внутри этого отрезка при любых положительных значениях $a,b$ и $c$, так как при этом $x_{2}>0$ и $\displaystyle \frac{a}{a+b}<1$ т. е. $x_{2}<c$.
Производная $l'$ существует всюду, поэтому функция $l$ других критических точек не имеет.
Внутри отрезка $\left [ 0;c \right ]$ функция $l$ имеет одну критическую точку $x_{2}$. Исследуя эту критическую точку по знаку производной v слева и справа от нее, как это показано в таблице, убеждаемся, что точка $x_{2}$ есть точка минимума.
Согласно свойству 1 непрерывных функций, в этой единственной на отрезке $\left [ 0;c \right ]$ точке минимума непрерывная функция $l$ имеет и наименьшее значение из всех ее значений на этом отрезке.
Следовательно, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая, следует построить мост в том месте, где расстояние $\displaystyle A_{1}C=\frac{ac}{a+b}$.