Геометрические вероятности. Решение типовых задач #1

Геометрические вероятности. Решение типовых задач. Часть 1
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его разложения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Предполагается, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади Sg этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры G, ни от формы фигур G и g. в этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру g определяется равенством

$$P=\frac{S_{g}}{S_{G}}\; \; \; (2)$$

где $S_{G}$ - площадь фигуры G.
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V.

Задача №1. На отрезок L, имеющий длину 40 см, помещен меньший отрезок l длиной 15 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на отрезке L.
Решение. Обозначим событие: А - точка, наудачу поставленная на отрезок L, попадает также и на отрезок l.
Найдем вероятность события А, применив формулу (1):

$$P(A)=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}.$$

Задача №2. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в треугольник пропорциональна площади треугольника и не зависит от его расположения относительно круга.
Решение. Обозначим событие: В - точка, наудачу брошенная в круг, окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника.
Найдем вероятность события В, применив формулу (2).
Площадь круга радиуса R равна $S_{G}=\pi R^{2}$; площадь вписанного в круг правильного треугольника равна $S_{g}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$, где a - сторона треугольника. Известно, что $a=R\sqrt{3}$, поэтому $S_{g}=\frac{3\sqrt{3}R^{2}}{4}$. Следовательно, вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{S_{g}}{S_{G}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }.$$