Геометрические вероятности. Решение типовых задач #2

Геометрические вероятности. Решение типовых задач. Часть 2
Задача №1. Задача о встрече. Два товарища условились встретиться в определенном месте между 12 часами и половиной первого дня. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча товарищей состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 часов до половины первого) и моменты прихода обоих независимы.
Решение. Обозначим событие: А - встреча товарищей состоится.
Найдем вероятность события А, применив формулу (1). Обозначим момент прихода одного из них через х мин., а момент прихода другого через у, мин. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $\left|x-y \right|\leq 20.$
Будем изображать х и у как декартовы координаты точек плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту (рис.1).

Все возможные исходы испытания изображаются точками фигуры, ограниченной квадратом, сторона которого равна 30; площадь этого квадрата равна $S_{G}=30^{2}.$
Неравенство $\left|x-y \right|\leq 20$ равносильно системе неравенств:

$$\left\{\begin{matrix} x-y\leq 20,\\ x-y\geq -20. \end{matrix}\right.$$

Исходы испытания, благоприятствующие событию А, удовлетворяют системе неравенств:

$$\left\{\begin{matrix} x-y\leq 20,\\ x-y\geq -20.\\ 0\leq x\leq 30,\\ 0\leq y\leq 30. \end{matrix}\right.$$

Решениями этой системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1 в заштрихованной области, то есть между граничными прямыми: $x-y=20,\; x-y=-20,\; x=0,\; x=30,\; y=0,\; y=30$ и на самих граничных прямых. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию А. Площадь заштрихованной фигуры равна $S_{g}=30^{2}-(30-20)^{2}.$
Искомая вероятность события А равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

$$P(A)=\frac{30^{2}-10^{2}}{30^{2}}=\frac{8}{9}.$$

Задача №2. Коэффициенты р и q квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$ выбирают наудачу в промежутке (0; 2). Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Решение. Обозначим событие: А - корни данного уравнения будут действительными числами.
Найдем вероятность события А, применив формулу (1). Пусть коэффициены р и q квадратного уравнения - наудачу взятые числа. Их возможные значения: $0\leq p\leq 2;\; 0\leq q\leq 2.$ Представим p и q как прямоугольные декартовы координаты точек плоскости. Возможные значения р и q в системе координат Opq будут представлены точками, расположенными внутри и на границах представленного на рис.2 квадрата, площадь которого $S_{G}=4.$

Корни квадратного уравнения являются действительными числами в том случае, когда дискриминант D этого уравнения неотрицателен.
Поэтому благоприятствующие событию А исходы испытания удовлетворяют условию: $D=p^{2}-4q\geq 0,$ откуда следует, что $q\leq \frac{p^{2}}{4}.$
Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:

$$\left\{\begin{matrix} q\leq p^{2}/4,\\ 0\leq p\leq 2,\\ 0\leq q\leq 2. \end{matrix}\right.$$

Граничные прямые $p=0,\; p=2,\; q=0,\; q=2$ являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая $q=p^{2}/4$ представляет собой параболу. Решениями составленной системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис.2 в заштрихованной области, то есть между граничными линиями $p=0,\; q=2,\; q=p^{2}/4$ и на самих этих линиях. Точки
плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию А. Площадь заштрихованной области равна

$$S_{g}=\int_{0}^{2}{\frac{p^{2}}{4}dp}=\frac{1}{4}\frac{p^{3}}{3}|_{0}^{2}=\frac{2}{3}.$$

Вероятность события А равна $P(A)=S_{g}/S_{G}=1/6.$