Теоремы сложения и умножения вероятностей. Основные формулы

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий:


$P(A+B)=P(A)+P(B).\; \; (1)$


В этой формуле: P(A+B) - вероятность суммы двух несовместных событий А и В, т.е. вероятность наступления одного из этих двух событий; Р(А) - вероятность наступления
события А; Р(В) - вероятность наступления события В; Р(А) + Р(В) - сумма вероятностей событий А и В.
Если $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ - n попарно несовместных событий, то

$$P(A_{1}+A_{2}+...+A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n}).\; \; \; (2)$$

Если $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ - n несовместных событий, образующих полную группу, то

$$P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})=1.\; \; \; (3)$$

Если А и $\bar{A}$ - два несовместных события, образующих полную группу, то $\bar{A}$ - событие, противоположное событию А, Вероятность события $\bar{A}$ равна

$$P(\bar{A})=1-P(A).\; \; \; (4)$$

Теорема умножения вероятностей:

$$P(AB)=P(A)\cdot P_{A}(B).\; \; \; (5)$$

В этой формуле Р(АВ) - вероятность произведения двух зависимых событий A и B, т. е. вероятность их совместного наступления; Р(А) - вероятность события А; $P_{A}(B)$ - условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило; $P(A)\cdot P_{A}(B)$ - произведение вероятности события А на условную вероятность $P_{A}(B)$.
В частности, для двух независимых событий А и В:

$$P(AB)=P(A)\cdot P(B).\; \; \; (6)$$

В этой формуле Р(АВ) - вероятность произведения двух независимых событий А и B, т, е. вероятность их совместного наступления (наступления и события А, и события В), Р(А) - вероятность события А, Р(В) - вероятность события В; $P(A)\cdot P(B)$ - произведение вероятностей событий A и В.
Если $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ - n зависимых событий, то

$$P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})P_{A_{1}}(A_{2})...P_{A_{1}...A_{n-1}(A_{n})}.\; \; \; (7)$$

в этой формуле $P(A_{1}A_{2}...A_{n})$ - вероятность произведения событий $A_{1}A_{2}...A_{n}$, т.е. вероятность их совместного наступления; $P_{A_{1}}(A_{2})$ - условная вероятность события $A_{2}$, вычисленная в предположении, что событие $A_{1}$ наступило;..., $P_{A_{1}...A_{n-1}}(A_{n})$ - вероятность события $A_{n}$, вычисленная в предположении, что все предыдущие n-1 события наступили. В частности, для n независимых событий $A_{1},A_{2},...,A_{n}$:

$$P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot... \cdot P(A_{n}).\; \; \; (8)$$

где $P(A_{1}A_{2}...A_{n})$ - вероятность произведения событий $A_{1},A_{2},...,A_{n}$;
$P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot... \cdot P(A_{n})$ - произведение вероятностей этих событий.