Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 1

Задача №1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 5 денежных и 20 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша на один билет?
Решение. Рассмотрим события:
$A_{1}$ - вещевой выигрыш по одному билету;
$A_{2}$ - денежный выигрыш по одному билету;
$A$ - любой выигрыш по одному билету.
$A_{1}$ и $A_{2}$ - несовместные события. Событие А состоит в том, что произойдет или событие $A_{1}$ , или событие $A_{2}$ (безразлично, какое); это означает, что событие А является суммой событий $A_{1}$ и $A_{2}$ : $A=A_{1}+A_{2}$ . Найдем вероятности событий $A_{1}$ и $A_{2}$ , применив формулу (1):

$P(A_{1})=\frac{5}{1000}=0,005;\; P(A_{2})=\frac{20}{1000}=0,02.$

Вероятность события А найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий. Согласно формуле (8) искомая вероятность равна

$P(A)=P(A_{1}+A_{2})=0,005+0,020=0,025.$

Задача №2. За ответ на экзамене ученик может получить одну из следующих оценок: 5, 4, 3, 2. Вероятность того, что ученик получит оценку 5, равна 0,3; оценку 4 - 0,4; оценку 3 - 0,2 и оценку 2 - 0,1. Какие из названных событий составляют полную группу несовместных событий? Какое событие противоположно событию: «ученик получит оценку 5» и какова вероятность этого события?
Решение. Рассмотрим события:

$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ - Ученик получит, соответственно, оценку: 5,4,3,2;
А - ученик получит какую-то из этих оценок: или 5, или 4, или 3, или 2.
Вероятности событий

$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ равны:

$P(A_{1})=0,3,\; P(A_{2})=0,4,\;P(A_{3})=0,2,\; P(A_{4})=0,1.$

$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ - несовместные события, составляющие полную группу. Событие А представляет собой сумму этих событий:

$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}$ , Событие А - достоверное;

$P(A)=1.$
Событию

$P(A)=1.$ - ученик получит оценку 5, противоположно событие

$\bar{A_{1}}$ - ученик не получит оценку 5. По формуле (11) найдем:

$P(\bar{A_{1}})=1-P(A_{1})=1-0,3=0,7.$
Задача №3. Контрольная работа по математике оценивается целым числом баллов, причем наибольшее число баллов равно 10. Вероятность получить студенту N за эту работу 10 баллов равна 0,2; 9 баллов - 0,3 и от 1 до 9 баллов включительно - 0,7. Найти вероятность того, что студент N получит
а) не менее 9 баллов,
б) ноль баллов.
Решение. Рассмотрим события:

$A_{1},A_{2},A_{3}$ - студент получит, соответственно: 10 баллов; 9 баллов; от 1 до 9 баллов включительно;
А - студент получит не менее 9 баллов;
В - студент получит 0 баллов.
Вероятности событий

$A_{1},A_{2},A_{3}$ равны:

$P(A_{1})=0,2,\; P(A_{2})=0,3,\;P(A_{3})=0,7.$
Обратим внимание на то, что

$A_{2}$ и

$A_{3}$ - совместные события. В этой задаче и далее будем находить суммы только несовместных событий и применять теорему сложения вероятностей только для таких событий.
а) Событие А состоит в том, что студент получит или 9, или 10 баллов; это означает, что А является суммой событий

$A_{1}$ и

$A_{2}$ . События

$A_{1}$ и

$A_{2}$ - несовместные;

$A=A_{1}+A_{2}$ .
Найдем вероятность события А, воспользовавшись формулой (8):

$P(A)=P(A_{1}+A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})=0,3+0,2=0,5.$