Область определения функции. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 5

Пример 1. Найти область определения каждой из следующих функций:
1) $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$; 2) $\displaystyle u=\frac{x-1}{x^{2}-5x+6}+\sqrt[3]{2x+1}$; 3) $\displaystyle v=arccos\frac{1-2x}{3}$; 4) $\displaystyle p=\frac{x}{\sin x}$; 5) $\displaystyle q=log_{2}(x^{2}-9)$.
Решение.
1) Поскольку аргумент $x$ содержится под радикалом четной степени, то функция $y$ будет иметь вещественные значения только при тех значениях $x$, при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т.е. $\displaystyle 1-x^{2}\geq 0$. Решая это неравенство, получим
$\displaystyle x^{2}\leq 1;\; \left | x \right |\leq 1;\; -1\leq x\leq 1.$
Следовательно, область определения функции $y$ есть отрезок [-1;1].

2) Здесь аргумент $x$ содержится в знаменателе дроби. Поэтому $x$ не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв знаменатель нулю, найдем эти значения $x$:
$\displaystyle x^{2}-5x+6=0;\; x_{1}=2,x_{2}=3.$
Второе слагаемое в выражении функции $u$ не накладывает никаких ограничений на значения $x$, поскольку показатель радикала нечетный. Следовательно, областью определения функции $u$ является вся числовая ось, кроме точек $x=2$ и $x=3$.

3) Функция $v$ будет определена только для тех значений $x$, для которых $\displaystyle -1\leq \frac{1-2x}{3}\leq 1$. Решив эти неравенства, получим
$\displaystyle -\frac{4}{3}\leq -\frac{2}{3}x\leq \frac{2}{3};\; -1\leq x\leq 2.$
Отрезок [-1;2] и является областью определения функции $v$.

4) Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель функции $p$ в нуль: $\displaystyle \sin x=0;\; x_{k}=\pi k;\; k=0,\pm 1,\pm 2,...$ .
При этих значениях $x$ функция $p$ не имеет никаких значений.
Областью определения функции $p$ является вся числовая ось, кроме точек $\displaystyle x_{k}$.

5) Логарифмическая функция $q$ определена только для положительных значений своего аргумента (логарифмируемого выражения), поэтому $\displaystyle x^{2}-9>0$.
Решая это неравенство, получим $\displaystyle \left | x \right |>3$, откуда следует, что $\displaystyle -\infty <x<-3$ и $\displaystyle 3 <x<+\infty$, т. е. область определения функции $q$ состоит из двух бесконечных интервалов $\displaystyle (-\infty ;-3)$ и $\displaystyle (3;+\infty )$.