Область определения (существования) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 4

Областью определения функции называется совокупность всех точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет не вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для функции $\displaystyle y=\sqrt{x}$ областью определения является полуоткрытый интервал $\displaystyle 0\leq x<+\infty$; для функции $\displaystyle z=\frac{1}{x-1}$ область определения состоит из двух интервалов: $\displaystyle -\infty <x<1$ и $\displaystyle 1<x<+\infty$.
Основные элементарные функции имеют следующие области определения:
степенная функция $\displaystyle y=x^{n}$ с рациональным положительным показателем $\displaystyle n=\frac{\alpha }{\beta }$ при нечетном $\displaystyle \beta$ определена на всей числовой оси $\displaystyle -\infty <x<+\infty$, а при четном $\displaystyle \beta$ определена в интервале $\displaystyle 0 \leq x<+\infty$ (при $\displaystyle \beta =1$ показатель $n$ будет целым числом);

показательная функция $\displaystyle y=a^{x},a>0$ определена на всей числовой оси;

логарифмическая функция $\displaystyle y=log_{a}x,a>0$ определена в интервале $\displaystyle 0<x<+\infty$;

тригонометрические функции $\displaystyle y=\sin x,y=\cos x$ определены на всей числовой оси; $\displaystyle y=tg x,y=sec x$ определены на всей числовой оси, исключая точки $\displaystyle x_{k}=(2k+1)\frac{\pi }{2},k=0,\pm 1,\pm 2,...$; $\displaystyle y=ctg\: x,y=cosec\: x$ определены на всей числовой оси, исключая точки $\displaystyle x_{k}=\pi k$;

обратные тригонометрические функции $\displaystyle y=arcsin \: x,y=arccos\: x$ определены на отрезке $\displaystyle -1\leq x\leq 1$; $\displaystyle y=arctg \: x,y=arcctg\: x$ определены на всей числовой оси.

При нахождении области определения элементарной функции, заданной формулой $\displaystyle y=f(x)$, нужно обращать внимание на следующие элементы формулы:
1) на радикалы четной степени — функция будет определена только для тех значений $x$ при которых их подкоренные выражения будут неотрицательны;
2) на знаменатели дробных выражений — функция будет определена только для тех значений $x$, при которых знаменатели отличны от нуля;
3) на трансцендентные функции $\displaystyle \log x,tg\: x,ctg\: x,sec\: x,cosec\: x,arcsin\: x,arccos\: x$, которые определены не всюду, а только при указанных выше значениях своего аргумента $x$.
Если эти перечисленные элементы отсутствуют в формуле $\displaystyle y=f(x)$, то областью определения функции $y$ будет вся числовая ось (исключая те случаи, когда область определения функции ограничивается специальными условиями задачи).