Определение вероятности. События. Решения типовых задач

Определение вероятности. События

Классическая вероятностная модель используется для описания опытов с конечным числом взаимно исключающих возможных исходов, при этом предполагается, что исходы опыта случайны и равновероятны по тем или иным соображениям (практический опыт, симметричность исходов, невозможность отдать предпочтение одним исходам перед другими и т. п.). Такие ситуации часто возникают в различных играх: домино, лото, карточные игры, бросание игральных костей и т. д. При организации лотерей, отборе контрольной выборки из партии изделий равновероятность организуется специально.
Пусть результаты опыта описываются S взаимно исключающими исходами $\omega _{1},\: \omega _{2},\: ...\omega _{s}$. Эти исходы называют также элементарными событиями. Множество $\Omega =\left\{\omega _{1},\: \omega _{2},\: ...\omega _{s} \right\}$ всех таких исходов называют множеством элементарных событий.

Любое случайное событие А, связанное с данным опытом, может быть задано посредством перечисления всех элементарных событий, при которых оно происходит. Пусть, например, А — это выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Тогда А можно задать перечислением благоприятствующих ему элементарных событий: выпало либо 2 очка, либо 4 очка, либо 6 очков. Событие $\Omega$, состоящее из всех возможных исходов, называют достоверным. В дальнейшем будем обозначать |A| число элементарных событий, входящих в А.

Если событию А благоприятствует К элементарных исходов, то вероятность Р(А) события А в классической вероятностной модели определяется формулой

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{K}{S}.\; \; \; (1)$$

При решении задач необходимо сначала описать множество элементарных событий $\Omega =\left\{\omega _{1},\: \omega _{2},\: ...\omega _{s} \right\}$; найти число $S=\left|\Omega \right|$; найти число К=|А| элементарных событий, благоприятствующих А, и воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Брошено две одинаковых монеты. Найти вероятность того, что монеты выпали разными сторонами.
Решение. Возможны четыре исхода: на 1-й и на 2-й монете выпал герб (обозначим этот элементаршлй исход ГГ); на 1-й монете—герб, на 2-й—решетка (обозначим исход ГР); два других исхода обозначим РГ и PP. Таким образом, множество элементарных событий $\Omega$={ГГ, ГР, РГ, РР] и $S=\left|\Omega \right|=4.$ Событие
A = {монеты выпали разными сторонами} происходит в двух случаях ГР или РГ, т. е. А = {ГР, РГ} и К=|А| = 1. По формуле (1) находим Р(A) = 2/4 = 1/2.

Задача 2. Брошено три монеты. Описать множество всех элементарных событий. Найти вероятности событий:
а) А={не выпало ни одного герба},
б) B={выпало четное число гербов},
в) С={на 3-й монете выпал герб}.
Ответ: Р(A)=78, P(B) = P(C) = 1/2.

Задача 3. Из двух претендентов Е и L на ответственную должность три члена комиссии должны отобрать одного. Каждый член комиссии должен указать либо одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятности событий:
A = (рекомендован L}, В=(рекомендован Е}.
Решение. Каждый член комиссии принимает одно из трех решений: Е—рекомендовать претендента Е; L—рекомендовать претендента L; О—никого не рекомендовать. Решение комиссии можно записать тройками, составленными из этих символов: ЕЕЕ—все члены комиссии рекомендовали претендента Е; OLE—1-й член комиссии никого не рекомендовал, 2-й рекомендовал L, а 3-й член комиссии рекомендовал Е и т. д. Тогда множество элементарных событий состоит из всех возможных троек: $\Omega$ = {EEE, LEE, ОЕЕ, ...}. Общее число элементарных событий |$\Omega$| нетрудно найти. Первое место тройки заполняется тремя способами. Первые два места заполняются девятью способами, так как каждое из трех заполнений 1-го места можно продолжить тремя способами заполнения 2-го места. Наконец, любое из 9 заполнений первых двух мест продолжается любым из трех способов заполнения 3-го места. Таким образом, |$\Omega$| = 9·3=27.
Событие А происходит либо в случае, когда все члены комиссии рекомендовали L, либо когда ровно один член комиссии не рекомендовал L. Событие А выражается через элементарные события следующим образом: A = {LLL, LLE, LLO, LEL, LOL, ELL, OLL}. Таким образом, |А| = 1 и по формуле (1)

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{7}{27}.$$

Элементарные события, составляющие В, получатся, очевидно, если в элементарных событиях, составляющих А, заменить L на Е, а Е на L. Тогда |В| = 1 и по формуле (1)

$$P(B)=\frac{|B|}{|\Omega |}=\frac{7}{27}.$$

Задача 4. Брошено две игральных кости. Описать множество элементарных событий. Найти вероятности событий: A = {выпало две «шестерки»}, B=(сумма выпавших очков не меньше 11}, С={не выпала ни одна «шестерка»}.
Ответ: Р(A)=1/36, Р(B) = 3/36=1/12, Р(С)=25/36.