Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 69

Пример 1. Найти следующие интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{5x}};$
2) $\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{3-4t^{2}}};$
3) $\displaystyle \int \cos 3\varphi d\varphi ;$
4) $\displaystyle \int e^{-\frac{x}{2}}dx;$
5) $\displaystyle \int \sin (ax+b)dx;$
6) $\displaystyle \int \frac{1}{5x+4}dx.$
Решение.
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{5x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\int x^{-\frac{1}{3}}dx=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2\sqrt[3]{5}}\sqrt[3]{x^{2}}+C,$ согласно свойству III и по формуле I, при $\displaystyle u=x,\: a=-\frac{1}{3}$.
2) $\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{3-4t^{2}}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2t)}{\sqrt{3-(2t)^{2}}}=\frac{1}{2}\arcsin \frac{2t}{\sqrt{3}}+C,$ согласно свойству III и по формуле 10, при $\displaystyle u=2t,\: a=\sqrt{3}$.
3) Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель 3 под знак интеграла (согласно свойству III), затем под знак дифференциала:

$$\displaystyle \int \cos 3\varphi d\varphi=\frac{1}{3}\int \cos 3\varphi d(3\varphi )=\frac{1}{3}\sin 3\varphi +C,$$

по формуле 5, при $u=3\varphi$.
4) Умножим и разделим интеграл на —2 и внесем делитель —2 под знаки интеграла и дифференциала:

$$\displaystyle \int e^{-\frac{x}{2}}dx=-2\int e^{-\frac{x}{2}}d\left ( -\frac{x}{2} \right )=-2e^{-\frac{x}{2}}+C,$$

по формуле 3, при $\displaystyle u=-\frac{x}{2}.$
5) Умножая и деля на $a$ и замечая, что $adx=d(ax+b)$, получим

$$\displaystyle \int \sin (ax+b)dx=\frac{1}{a}\int \sin (ax+b)d(ax+b)=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C,$$

по формуле 4, при $u=ax+b$.
6) Умножая и деля на 5, получим:

$$\displaystyle \int \frac{1}{5x+4}dx=\frac{1}{5}\int \frac{5}{5x+4}dx=\frac{1}{5}\ln \left | 5x+4 \right |+C,$$

по формуле 2, при $u=5x+4;\: u'=5.$
Этот интеграл можно найти иначе:

$$\displaystyle \int \frac{1}{5x+4}dx=\frac{1}{5}\int \frac{1}{x+\frac{4}{5}}dx=\frac{1}{5}\ln \left | x+\frac{4}{5} \right |+C,$$

по формуле 2, при $\displaystyle u=x+\frac{4}{5},\: u'=1.$
Полученные результаты оба правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Пример 2. Найти следующие интегралы:
1) $\displaystyle \int (3-2x)^{7}dx;$
2) $\displaystyle \int \textrm{tg}\, \varphi d\varphi.$
Решение. 1) Умножаем и делим на —2, вносим множитель —2 под знак интеграла, согласно свойству III, и заменяя $-2dx$ через $d(3-2x)$, что одно и то же, получим:

$$\displaystyle \int (3-2x)^{7}dx=-\frac{1}{2}\int (3-2x)^{7}(-2dx)=-\frac{1}{2}\int (3-2x)^{7}(3-2dx)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{(3-2x)^{8}}{8}+C,$$

по формуле 1, при $u=3-2x,\: a=7.$
2) Заменяя $\textrm{tg}\, \varphi$ через $\displaystyle \frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }$ получим:

$$\displaystyle \int \textrm{tg}\, \varphi d\varphi=\int \frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }d\varphi =-\int \frac{-\sin \varphi }{\cos \varphi }d\varphi =-\int \frac{d\cos \varphi }{\cos \varphi }d\varphi=-\ln \left | \cos \varphi \right |+C,$$

по формуле 2, при $\displaystyle u=\cos \varphi \: \left ( u'=-\sin \varphi ,\: du=-\sin \varphi d\varphi \right )$.
Полезно запомнить словесное выражение формулы 2: интеграл от дроби, числитель которой является дифференциалом знаменателя, равен логарифму абсолютной величины знаменателя.