Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Практикум по математическому анализу. Урок 9

Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции

Переменная величина определяется не только множеством тех числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком, в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математическом анализе переменная рассматривается как множество чисел, расположенных в известной последовательности, m. е. как упорядоченное числовое множество.
Простейшим частным случаем переменной является такая величина $v$, последовательные значения которой могут быть перенумерованы: $\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n},...$.
Такое простейшего вида упорядоченное числовое множество называется числовой последовательностью.
I. Число $a$ называется пределом переменной $x$, если абсолютное значение их разности $a-x$ для всех значений $x$, следующих за некоторым значением $\displaystyle x_{0}$, будет меньше любого заранее данного положительного числа $\displaystyle \varepsilon$, как бы мало оно ни было.
II. Переменная $a$ называется бесконечно малой, если все ее значения, следующие за некоторым значением $\displaystyle a_{0}$, по абсолютному значению будут меньше любого заранее данного положительного числа $\displaystyle \varepsilon$, как бы мало оно ни было.
III. Переменная $z$ называется бесконечно большой, если все ее значения, следующие за некоторым значением $\displaystyle z_{0}$, по абсолютному значению будут больше любого заранее данного положительного числа $N$, как бы велико оно ни было.
Если число $a$ есть предел переменной $x$, то говорят, что $x$ стремится к $a$ и пишут: $\displaystyle \textrm{lim} \: x=a$, или $\displaystyle x\rightarrow a$.
Бесконечно большая величина $z$ не имеет предела, однако для сокращения речи и записей условно говорят, что $z$ стремится к бесконечности, или предел $z$ равен бесконечности, и пишут $\displaystyle z\rightarrow \infty$, или $\displaystyle \textrm{lim} \: z= \infty$.
Говорят и пишут также, что $\displaystyle z\rightarrow +\infty ,\; \textrm{lim}\: z=+\infty$, или $\displaystyle z\rightarrow -\infty ,\; \textrm{lim}\: z=-\infty$, если все значения бесконечно большой $z$, следующие за некоторым значением $\displaystyle z_{0}$, сохраняют положительный или отрицательный знак.
Из определений предела переменной, бесконечно малой и бесконечно большой величин следует:
1) предел бесконечно малой равен нулю (т. е. если $\displaystyle \alpha$ - бесконечно малая, то $\displaystyle \textrm{lim}\: \alpha =0$, или $\displaystyle \alpha \rightarrow 0$);
2) разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая (т. е. если $\displaystyle \textrm{lim}\: x=a$, то $\displaystyle x-a=\alpha$);
3) величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая (т.е. если $\displaystyle z\rightarrow \infty$, то $\displaystyle \frac{1}{z}\rightarrow 0$);
4) величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая (т. е. если $\displaystyle \alpha \rightarrow 0$, $\displaystyle \frac{1}{\alpha}\rightarrow \infty$).
Если $\displaystyle f(x)\rightarrow b$ когда $\displaystyle x\rightarrow a$ не совпадая с $a$, то число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$.
Предел функции можно определить иначе, не ссылаясь на определение предела переменной: Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ при $\displaystyle x\rightarrow a$ (в точке $a$), если для каждого числа $\displaystyle \varepsilon >0$ можно найти такое число $\displaystyle \delta >0$, что $\displaystyle \left | f(x)-b \right |$ будет меньше $\displaystyle \varepsilon$, когда $\displaystyle \left | x-a \right |$, при $\displaystyle x\neq a$, меньше $\displaystyle \delta$.
Если число $b$ есть предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $a$, то пишут:
$\displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x)=b$, когда $x$ стремится к $a$ произвольным способом;
$\displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b$, когда $x$ стремится к $a$ слева, оставаясь меньше $\displaystyle \alpha$;
$\displaystyle \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b$, когда $x$ стремится к $a$ справа, оставаясь больше $a$.
Замечание. Если $a=0$, то вместо 0+0 (0-0) пишут просто +0 (-0).
При этом, если существует предел функции, когда $\displaystyle x\rightarrow a$ произвольным способом, то существуют и будут с ним одинаковы односторонние пределы функции, когда $\displaystyle x\rightarrow a$ только слева или только справа, т. е.
если $\displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x)=b$, то $\displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)= \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x)=b$.
Если же односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции при $\displaystyle x\rightarrow a$ произвольным способом, т. е.
если $\displaystyle \underset{x\rightarrow a-0}{\textrm{lim}}\: f(x)\neq \underset{x\rightarrow a+0}{\textrm{lim}}\: f(x)$, то $\displaystyle \underset{x\rightarrow a}{\textrm{lim}}\: f(x)$ не существует.