Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 10

Пример 1. Полагая $n=0,1,2,3,...$, составить таблицу значений переменных
$\displaystyle x=1+0,1^{n};y=-0,1^{-n};$ $z=(-0,1)^{n},u=(-1)^{n}+0,1^{n}$ и определить характер их изменения при неограниченном увеличении $n$, т. е. при $\displaystyle n\rightarrow \infty$.
Решение. Вычисляя значения заданных переменных при указанных значениях $n$, получим следующую таблицу:

Из рассмотрения этой таблицы можно заключить:
1) С увеличением $n$ последовательные значения переменной $x$ приближаются к единице так, что при достаточно большом $n$ абсолютное значение их разности $\displaystyle \left | x-1 \right |$ будет меньше любого заранее данного положительного числа $\displaystyle \varepsilon$, как бы мало оно ни было.
Это же можно и доказать. Пусть задано число $\displaystyle \varepsilon >0$. Полагая $\displaystyle \left | x-1 \right |=0,1^{n}<\varepsilon$, находим, логарифмируя обе части неравенства, $\displaystyle n>\textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }$ т. е. $\displaystyle \left | x-1 \right |$ будет меньше $\displaystyle \varepsilon$, как только $n$ станет больше $\displaystyle \textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }$. Следовательно, согласно определению I переменная $x$ имеет предел, равный единице, $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}x=1$, к которому она стремится справа, оставаясь больше его, т. е. монотонно (неизменно) убывая.
2) Последовательные значения переменной $y$ с увеличением $n$ неограниченно убывают так, что при достаточно большом $n$ они по абсолютному значению будут больше любого заданного положительного числа $N$, как бы велико оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число $N>0$. Полагая $\displaystyle \left | y \right |=0,1^{-n}>N$, находим, логарифмируя обе части неравенства, $\displaystyle n>\textrm{lg}\: N$ т. е. $\displaystyle \left | y \right |$ будет больше $N$, как только $n$ станет больше $\displaystyle \textrm{lg}\: N$. Следовательно, согласно определению III, переменная $y$ есть бесконечно большая величина: $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}y=-\infty$.
3) С увеличением $n$ последовательные значения переменной $z$ приближаются к нулю так, что при достаточно большом $n$ они по абсолютному значению будут меньше любого заданного положительного числа $\displaystyle \varepsilon$, как бы мало оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число $\displaystyle \varepsilon >0$. Полагая $\displaystyle \left | z \right |=0,1^{n}<\varepsilon$, находим, логарифмируя обе части неравенства, $\displaystyle n>\textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }$, т. е. $\displaystyle \left | z \right |$ будет меньше $\displaystyle \varepsilon$, как только $n$ станет больше $\displaystyle \textrm{lg}\: \frac{1}{\varepsilon }$. Следовательно, согласно определению II переменная $z$ есть бесконечно малая величина: $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}z=0$. Она стремится к своему пределу — нулю, колеблясь около него, т. е. не монотонно.
4) Последовательные значения переменной $u$ с увеличением $n$ не приближаются ни к какому определенному числу. Поэтому переменная $u$ не имеет предела. Она не является и бесконечно большой, так как ее значения не растут безгранично вместе с $n$. Переменная $u$ — ограниченная величина.
Пример 2. Доказать, что $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=\left\{\begin{matrix} 0,\textrm{if}\: 0<a<1,\\ +\infty , \textrm{if}\: a>0. \end{matrix}\right.$ (if - если (англ.))
Решение. 1) Пусть постоянная $a$ есть правильная положительная дробь $0<a<1$. Тогда с увеличением $n$ переменная $\displaystyle f(n)=a^{n}$ будет монотонно убывать, т. е. каждое следующее ее значение будет меньше предыдущего. Докажем, что, начиная с определенного значения $\displaystyle n=n_{0}$ и для всех последующих значений $\displaystyle n>n_{0}$, значения функции $\displaystyle a^{n}$ будут меньше любого заданного положительного числа $\displaystyle \varepsilon$.
Полагая $\displaystyle a^{n_{0}}<\varepsilon$, найдем искомое значение $\displaystyle n_{0}$. Логарифмируя обе части неравенства, получим $\displaystyle n_{0}\textrm{lg}\: a<\textrm{lg}\: \varepsilon$, откуда найдем $\displaystyle n_{0}>\frac{\textrm{lg}\: \varepsilon }{\textrm{lg}\: a}$. (Знак неравенства изменился, так как при $0<a<1$ $\displaystyle \textrm{lg}\: a<0$). Следовательно, значение функции $\displaystyle a^{n}$ при $\displaystyle n=n_{0}$ и все последующие ее значения при $\displaystyle n>n_{0}$ будут меньше $\displaystyle \varepsilon$, как бы мало оно ни было, т. е. доказано, что при $0<a<1$ и при $\displaystyle n\rightarrow +\infty$ функция $\displaystyle a^{n}$ является бесконечно малой величиной, т. е. $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=0$. 2) Пусть $a>1$. Тогда с увеличением $n$ переменная $\displaystyle a^{n}$ будет монотонно возрастать. Докажем, что, начиная с определенного значения $\displaystyle n=n_{0}$ и для всех последующих значений $\displaystyle n>n_{0}$, значения функции $\displaystyle a^{n}$ будут больше любого заданного положительного числа $N$.
Полагая $\displaystyle a^{n}>N$ найдем $\displaystyle n_{0}>\frac{\textrm{lg}\: N }{\textrm{lg}\: a}$.
Следовательно, для всех значений $\displaystyle n\geq n_{0}$ значения функции $\displaystyle a^{n}$ будут больше $N$, как бы велико оно ни было, т. е. доказано, что при $a>1$ и при $\displaystyle n\rightarrow +\infty$ функция $\displaystyle a^{n}$ является положительной бесконечно большой величиной, т. е. $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}a^{n}=+\infty$.