Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения $x^{5}-x-0,2=0$.
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду $x^{5}=x+0,2$ и построив кривые $y=x^{5}$ и $y=x+0,2$ в одних координатных осях (рис. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,1].

Далее вычислим приближенное значение корня с заданной точностью, пользуясь методом хорд и касательных, т, е. применяя формулы (*), сужающие отрезок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять эти формулы, следует убедиться в том, что функция $f(x)=x^{5}-x-0,2$ и найденный отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а) значения функции $f(x)$ на концах отрезка имеют разные знаки и что
б) первая и вторая производные от функции на этом отрезке сохраняют каждая свой знак:
а) $f(1)=-0,2<0;\: f(1,1)=0,31051>0;$
б) $f'(x)=5x^{4}-1>0;\: f''(x)=20x^{3}>0$
для всех значений х на отрезке [1; 1,1].
Так как $f(x)$ имеет тот же знак, что и $f''(x)$ при $x=1,1$ то, обозначив концы отрезка $a=1,\: b=1,1=\beta$ и применяя формулы (*), получим:

$$\displaystyle a_{1}=1-\frac{(1,1-1)f(1)}{f(1,1)-f(1)}=1+\frac{0,1\cdot 0,2}{0,51051}=1,039;$$

$$\displaystyle b_{1}=1,1-\frac{f(1,1)}{f'(1,1)}=1,1-\frac{0,31051}{6,3205}=1,051.$$

К полученным новым границам $a_{1}$ и $b_{1}$ более узкого отрезка, содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):

$$\displaystyle a_{2}=a_{1}-\frac{(b_{1}-a_{1})f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})}=1,039+\frac{0,012\cdot 0,0282}{0,0595}=1,04469;$$

$$\displaystyle b_{2}=b_{1}-\frac{f(b_{1})}{f'(b_{1})}=1,051-\frac{0,0313}{5,1005}=1,04487.$$

Длина полученного отрезка $\left [ a_{2};b_{2} \right ]$ меньше $2\delta$, но больше $\delta$:

$$0,0001<\left | a_{2}-b_{2} \right |=0,00018<0,0002.$$

Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня данного уравнения с точностью до 0,0001 будет

$$\displaystyle x_{0}\approx \frac{a_{2}+b_{2}}{2}=1,0448.$$

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный корень уравнения $2-x-\lg x=0$.
Решение. Чтобы отделить искомый корень, преобразуем уравнение к виду $\lg x=2-x$ и построим кривые $y=\lg x$ и $y=2-x$ (рис. 80). По чертежу определяем, что искомый корень содержится внутри отрезка [1,6; 1,8].
Для проверки условий, соблюдение которых необходимо при пользовании методом хорд и касательных, вычисляем значения функции $f(x)=2-x-\lg x$ на концах найденного отрезка и находим производные $f'(x)$ и $f''(x)$:

$$f(1,6)=2-1,6-0,2041=0,1959>0;$$

$$f(1,8)=2-1,8-0,2553=-0,0553<0;$$

$$f'(x)=-1-\frac{1}{x}\lg e;\: f''(x)=\frac{1}{x^{2}}\lg e;$$

$f'(x)<0,\, f''(x)>0$ на всем отрезке [1,6; 1,8].
Убедившись, что на концах отрезка функция $f(x)$ имеет разные знаки и что на всем этом отрезке производные $f'(x)$ и $f''(x)$ сохраняют каждая свой знак, обозначаем концы отрезка: $a=1,6=\beta;\: b=1,8$ и применяем уточняющие формулы (*):

$$\displaystyle a_{1}=1,6-\frac{(1,8-1,6)f(1,6)}{f(1,8)-f(1,6)}=1,6+0,1559=1,7559;$$

$$\displaystyle b_{1}=1,6-\frac{f(1,6)}{f'(1,6)}=1,6+0,1540=1,7540;$$

Повторно применяем формулы (*) до тех пор, пока не получим отрезок $\left [ b_{n};a_{n} \right ]$, длина которого будет удовлетворять одному из условий (**):

$$\displaystyle a_{2}=1,7559-\frac{(1,7540-1,7559)f(1,7559)}{f(1,7540)-f(1,7559)}=1,75558;$$

$$\displaystyle b_{2}=1,7540-\frac{f(1,7540)}{f'(1,7540)}=1,75557;$$

$$a_{3}=1,7555816;\: b_{3}=1,7555807.$$

Здесь длина отрезка $\left [ b_{3};a_{3} \right ]$ менее 0,000001; $a^{3}-b_{3}=0,0000009$. Поэтому искомое приближенное значение корня данного уравнения с точностью до 0,000001

$$x_{0}\approx b_{3}=1,75581.$$