Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Пример 5. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой $H=6$ м и радиусом основания $R=2$ м. Удельный вес масла $\delta =0,9$.
Решение. Величина работы $q$, затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты $x$ его подъема: $q=Px$, $P$ — вес тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною $x$, рис. 1, есть некоторая функция $q(x)$ и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении $x$ на величину $dx$ объем $v$ слоя масла увеличится на величину $\Delta v=\pi R^{2}dx$, его вес $p$ увеличится на величину $\Delta p=\pi \delta R^{2}dx$, а затраченная работа $q$ увеличится на величину $\Delta q\approx \pi \delta R^{2}xdx=dq$.

Рис. 1

Всю искомую работу $Q$ получим при изменении $x$ от 0 до $H$. Поэтому

$\displaystyle Q=\pi \delta R^{2}\int_{0}^{H}xdx=\pi \delta R^{2}\frac{x^{2}}{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{H}=\frac{\pi \delta R^{2}H^{2}}{2}\approx 64800\pi$ (кГм) $\approx$
$\approx 64800\cdot 9,81\pi$ (дж) $\approx 635688\pi$ (дж).

Пример 6. При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, полагаем, что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною $x$ (рис. 2), есть некоторая функция $q(x)$ и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении $x$ на величину $dx$ объем $v$ слоя масла увеличится на величину $\Delta v\approx Hydx=dv$, его вес $p$ увеличится на величину $\Delta p\approx \delta Hydx=dp$, а затраченная работа $q$ увеличится на величину $\Delta q\approx \delta Hyxdx=dq$.

Рис. 2

Вся искомая работа $Q$ выразится интегралом от $dq$ в пределах от $x=0$ до $x=2R$:

$$\displaystyle Q=\delta H\int_{0}^{2R}xydx=2\delta H\int_{0}^{2R}x\sqrt{R^{2}-(x-R)^{2}}dx,$$

где переменная $y$ выражена через переменную $x$ из прямоугольного треугольника $ONM$.
Для вычисления этого интеграла полагаем $x-R=R\sin t$. Тогда $\displaystyle dx=R\cos tdt;\; t=-\frac{\pi }{2}$ при $\displaystyle x=0;\: t=\frac{\pi }{2}$ при $x=R$;

$\displaystyle Q=2\delta H\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(R+R\sin t)R^{2}\cos ^{2}tdt=2\delta HR^{3}\left ( \int \cos ^{2}tdt+\int \cos ^{2}t\sin tdt \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=2\delta HR^{3}\left ( \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t-\frac{1}{3}\cos ^{3}t \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\pi \delta HR^{3}=43200\pi$ (кГм) $\approx 423792\pi$ (дж).

Пример 7. Шар лежит на дне бассейна глубиной $H=14$ дм. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус $R=3$ дм, а удельный вес $\delta =2$.

Решение. При подъеме шара до поверхности воды сила $P_{1}$, совершающая работу, постоянна и равна разности между весом шара и весом вытесняемой им воды:

$$\displaystyle P_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\delta -\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}(\delta -1).$$

Поэтому работа $Q_{1}$ необходимая для поднятия шара до поверхности воды, определяется элементарным путем как произведение силы $P_{1}$ на высоту подъема $H-2R$:

$$\displaystyle Q_{1}=P_{1}(H-2R)=\frac{4}{3}\pi R^{2}(\delta -1)(H-2R).$$

Рис. 3

При дальнейшем подъеме шара сила $p$, совершающая работу, будет изменяться в зависимости от высоты $x$ надводной части шара (рис. 3):

$$\displaystyle p(x)=P_{sh}-p_{v},$$

где $P_{sh}$ — вес шара, $P_{v}$ — вес воды, вытесняемой подводной частью шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой $h=2R-x$:

$$\displaystyle p_{v}=\pi h^{2}\left ( R-\frac{h}{3} \right )=\frac{\pi }{3}\left ( 2R-x \right )^{2}\left ( R+x \right )=\frac{\pi }{3}(x^{3}-3Rx^{2}+4R^{3}).$$

Очевидно, и работа, совершаемая силой $p(x)$, будет некоторой функцией $q(x)$. Допуская, что при подъеме шара еще на малую высоту $dx$ сила $p(x)$ остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы

$$\displaystyle \Delta q\approx p(x)dx=(P_{sh}-p_{v})dx=\frac{\pi }{3}[4R^{3}(\delta -1)-x^{3}+3Rx^{2}]dx=dq.$$

Интегрируя $dq$ в пределах от $x=0$ до $x=2R$, найдем работу $Q_{2}$, которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:

$$\displaystyle Q_{2}=\frac{\pi }{3}\int_{0}^{2R}[4R^{3}(\delta -1)-x^{3}+3Rx^{2}]dx=\frac{\pi }{3}\left [ 4R^{3}(\delta -1)x-\frac{x^{4}}{4}+Rx^{3} \right ] \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2R}=\frac{4}{3}\pi R^{4}(2\delta -1).$$

Вся искомая работа
$\displaystyle Q=Q_{1}+Q_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}[R+(\delta -1)H]=61,2\pi$(кГм)$\approx 600,4\pi$ (дж).