Прямая и плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Прямая и плоскость в пространстве".
1. Угол между прямой

$$\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}$$

и плоскостью

$$Ax+By+Cz+D=0$$

определяется по формуле:

$$\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \; \; (1)$$

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

$$Am+Bn+Cp=0.\; \; \; (2)$$

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

$$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.$$

4. Если даны две плоскости $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ и$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$, то уравнение всякой плоскости, проходящей через ли­нию пересечения заданных плоскостей, имеет вид:

$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda \left( A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}\right)=0,\; \; (4)$$

где $\lambda$ — переменный параметр.
Уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
5. Условием, при котором две прямые

$$\frac{x-a_{1}}{m_{1}}=\frac{y-b_{1}}{n_{1}}=\frac{z-c_{1}}{p_{1}}$$

и

$$\frac{x-a_{2}}{m_{2}}=\frac{y-b_{2}}{n_{2}}=\frac{z-c_{2}}{p_{2}}$$

лежат в одной плоскости, является равенство

$$\begin{vmatrix} a_{2}-a_{1} & b_{2}-b_{1} & c_{2}-c_{1}\\ m_{1}&n_{1} &p_{1} \\ m_{2}&n_{2} &p_{2} \end{vmatrix}=0.\; \; \; (5)$$

Если условие (5) выполняется, то прямые лежат в одной плоско­сти, т. е. они или параллельны, если направляющие коэффициенты пропорциональны, или пересекаются, если направляющие коэффи­циенты не пропорциональны.
Если же условие (5) не выполняется, то прямые скрещиваются.
6. Условием, при котором прямая

$$\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}$$

лежит в плоскости $Ax+By+Cz+D=0$, являются следующие ра­венства:

$$\left\{\begin{matrix} Am+Bn+Cp=0,\\ Aa+Bb+Cc+D=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (6)$$