Решение задач на формулу Бернулли. Часть 1

Задача №1. У дикорастущей земляники красная окраска ягод доминирует над розовой; этот признак передается по наследству. В некоторой популяции земляники вероятность встретить растение с красными ягодами равна 0,7. Какова вероятность того, что среди отобранных случайным образом 8-ми растений этой популяции красные ягоды будут иметь:
а) б растений;
б) не менее шести растений?
Решение. В каждом испытании может появиться или не появиться событие $A$, которое состоит в том, что у растения земляники будут красные ягоды. Общее число испытаний n = 8; испытания являются независимыми. Вероятность появления события $A$ в каждом из восьми испытаний постоянна и равна р=0,7; вероятность непоявления события $A$ в каждом испытании равна q = 1 - р = 0,3.
а) Обозначим событие:
$B$ - ровно б растений из восьми отобранных будут иметь красные ягоды. Число испытаний, в которых ожидается появление события $A$, равно $m_{1}=6$.
Искомую вероятность$P(B)=P_{8}(6)$ найдем по формуле (1) при значении $m=m_{1}$:

$$P_{8}(6)=C_{8}^{6}p^{6}q^{2}=\frac{8!}{6!\cdot 2!} \cdot (0,7)^{6} \cdot (0,3)^{2}\approx 0,2965.$$

б) Обозначим событие:
$C$ - не менее шести растений из восьми отобранных будут иметь красные ягоды.
Рассмотрим события, составляющие событие $C$:
$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ - красные ягоды будут иметь, соответственно, б растений, 7 растений, 8 растений из 8 отобранных. $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ - несовместные события, причем событие $C_{1}$ равно событию $B$, рассмотренному в пункте а) задачи.
Событие $C$ состоит в том, что красные ягоды будут иметь или б, или 7, или 8 растений. Это означает, что событие $C$ представляет собой сумму событий $C_{1}$, $C_{2}$ и $C_{3}$: $C=C_{1}+C_{2}+C_{3}$. Вероятность события $C$ найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

$$P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3}).\; \; \; \; (*)$$

Вероятность $P(C_{1})\approx 0,2965$. Вероятности $P(C_{2})$ и $P(C_{3})$ найдем по формуле Бернулли при значениях m, соответственно равных $m_{2}=7$ и $m_{3}=8$:

$$P(C_{2})=P_{8}(7)=C_{8}^{7}p^{7}q^{1}=8\cdot (0,7)^{7} \cdot (0,3)^{1}\approx 0,1977;$$

$$P(C_{3})=P_{8}(8)=1\cdot (0,7)^{8} \cdot (0,3)^{0}\approx 0,0576.$$

Подставив значения $P(C_{1})$, $P(C_{2})$ и $P(C_{3})$ в равенство (*), получим

$$P(C)=P(6\leq m\leq 8)=P_{8}(6)+P_{8}(7)+P_{8}(8)\approx 0,2965+0,1977+0,0576=0,5518.$$

В рассмотренном случае вероятность $P(C)$ равна вероятности того, что событие $A$ появится в 8-ми испытаниях от $m_{1}$ до $m_{3}$ раз. Итак, при небольших значениях $m$ и $n$ вероятность того, что $m$ примет определенное значение из заданного интервала, находят с применением формулы Бернулли и теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Задача №2. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята выводятся в среднем из 70% заложенных в инкубатор яиц. Из общего количества заложенных в инкубатор яиц случайным образом отобраны и помечены шесть. Найти вероятности того, что из помеченных яиц выведутся:
а) менее трех цыплят;
б) более трех цыплят;
в) не менее трех цыплят;
г) не более трех цыплят.
д) Есть ли среди событий, вероятности которых требуется найти в пунктах: а) - г), такие, которые составляют полную группу? (если есть, то какие?).
Решение. Общее число независимых испытаний n = 6. Событие $A$, которое может произойти или не произойти в каждом испытании, состоит в том, что из заложенного в инкубатор яйца выведется цыпленок. Вероятность наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и равна р = 0,7; вероятность q = 0,3.
Рассмотрим события:
$A_{1}$ - из б-ти яиц выведутся менее трех цыплят;
$A_{2}$ - из 6-ти яиц выведутся более трех цыплят;
$A_{3}$ - из 6-ти яиц выведутся не менее трех цыплят;
$A_{4}$ - из 6-ти яиц выведутся не более трех цыплят.
По формуле Бернулли найдем:

$$P_{6}(0)=C_{6}^{0}p^{0}q^{6}=1\cdot 0,7^{0}\cdot 0,3^{6}=0,000729;$$

$$P_{6}(1)=C_{6}^{1}p^{1}q^{5}=6\cdot 0,7^{1}\cdot 0,3^{5}=0,010206;$$

$$P_{6}(2)=C_{6}^{2}p^{2}q^{4}=15\cdot 0,7^{2}\cdot 0,3^{4}=0,059535;$$

$$P_{6}(3)=C_{6}^{3}p^{3}q^{3}=20\cdot 0,7^{3}\cdot 0,3^{3}=0,18522;$$

$$P_{6}(4)=C_{6}^{4}p^{4}q^{2}=15\cdot 0,7^{4}\cdot 0,3^{2}=0,324135;$$

$$P_{6}(5)=C_{6}^{5}p^{5}q^{1}=6\cdot 0,7^{5}\cdot 0,3^{1}=0,302526;$$

$$P_{6}(6)=C_{6}^{6}p^{6}q^{0}=1\cdot 0,7^{6}\cdot 0,3^{0}=0,117649.$$

Вероятности событий $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ и $A_{4}$ найдем, применив формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий:

$$P(A_{1})=P(0\leq m\leq 2)=P_{6}(0)+P_{6}(1)+P_{6}(2)= 0,000729+0,010206+0,059535=0,07047;$$

$$P(A_{2})=P(4\leq m\leq 6)=P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)= 0,324135+0,302526+0,117649=0,74431;$$

$$P(A_{3})=P(3\leq m\leq 6)=P_{6}(3)+P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)= 0,18522+0,74431=0,92953;$$

$$P(A_{4})=P(0\leq m\leq 3)=P_{6}(0)+P_{6}(1)+P_{6}(2)+P_{6}(3)= 0,07047+0,18522=0,25569.$$

События $A_{1}$ и $A_{3}$ составляют полную группу несовместных событий, так как событие $B=A_{1}+A_{3}$ достоверно.
Вероятность этого события $P(B)=P(A_{1}+A_{3})=P(A_{1})+P(A_{3})=0,07047+0,92953=1$.
События $A_{1}$ и $A_{3}$ - взаимно противоположные; можно обозначить: $\bar{A_{1}}=A_{3}$.

Так же можно показать, что полную группу несовместных событий составляют события $A_{2}$ и $A_{4}$. События $A_{2}$ и $A_{4}$ - взаимно противоположные; можно обозначить: $\bar{A_{2}}=A_{4}$.