Решение задач на формулу Бернулли. Часть 2

Задача №1.В Московской области при выращивании озимой ржи сорта Чулпан с применением почвозащитных технологий обработки почвы и средств химизации вероятность гибели более 92% всех сорняков равна 0,8. На опытном поле, разбитом на делянки, случайным образом выбрано 5 делянок. Найти вероятность того, что не менее, чем на двух из них погибнет более 92% сорняков.
Решение. Испытание состоит в проверке факта гибели более 92% сорняков на одной делянке. Общее число испытаний n = 5. Все испытания являются независимыми. Событие $A$, которое может произойти или не произойти в каждом испытании - гибель более 92% сорняков. Вероятность р = 0,8, вероятность q = 0,2. Рассмотрим событие:
$B$ - более 92% сорняков погибнет не менее, чем на двух делянках из пяти.
Вероятность события в представляет собой вероятность того, что число m появлений события $A$ в пяти испытаниях будет больше или равно двум и меньше или равно пяти. Искомая вероятность равна

$$P(B)=P(2\leq m\leq 5)=P_{5}(2)+P_{5}(3)+P_{5}(4)+P_{5}(5).$$

Каждое из четырех слагаемых в последнем равенстве найдем по формуле Бернулли.
Решение будет более коротким, если рассмотреть событие $\bar{B}$, противоположное событию $B$. Событие $\bar{B}$ состоит в том, что более 92% сорняков погибнет менее, чем на двух делянках, т. е. или ни на одной, или на одной делянке. Воспользовавшись формулой (4) для определения вероятности противоположного события и теоремой сложения вероятностей несовместных событий, получим

$$P(B)=P(2\leq m\leq 5)=1-P(0\leq m\leq 1)=1-(P_{5}(0)+P_{5}(1)).$$

Вероятности $P_{5}(0)$ и $P_{5}(1)$ найдем по формуле Бернулли. Таким образом,

$$P(B)=P(2\leq m\leq 5)=1-C_{5}^{0}p^{0}q^{5}-C_{5}^{1}p^{1}q^{4}=1-(0,2)^{5}-5\cdot (0,8)^{1}\cdot (0,2)^{4}=0,99328.$$

Задача №2. Вероятность того, что из четырех кустов садовой земляники сорта Талисман, отобранных с некоторого участка случайным образом, хотя бы один куст поражен вилтом, равна 0,3439. Какова вероятность поражения вилтом одного куста земляники, если для всех кустов эта вероятность одинакова?
Решение. Испытание состоит в проверке одного куста земляники. Общее число испытаний n = 4. Испытания являются независимыми. Событие $A$, которое может появится или не появится в каждом испытании, состоит в том, что проверенный куст поражен вилтом. Рассмотрим события:
$C$ - вилтом поражен хотя бы один куст из четырех кустов земляники;
$\bar{C}$ - ни один из четырех кустов не поражен вилтом.

Событие $\bar{C}$ противоположно событию $C$. Используя формулу (4) для определения вероятности противоположного события и формулу (1), по которой найдем $P(\bar{C})=P_{4}(0)$, получим:

$$P(C)=1-P_{4}(0)=1-q^{4}=0,3439,$$

где $q=1-p.$
Решив уравнение $1-q^{4}=0,3439$, найдем q = 0,9 ; отсюда получим p = 0,1.

Задача №3. Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Вероятность того, что при некотором повышении напряжения в цепи выше номинального перегорит только одна лампочка, равна 0,18. Найти вероятности перегореть для каждой из этих лампочек, если известно, что эти вероятности превосходят 0,7 и равны между собой.
Решение. Испытание состоит в проверке работы электрической лампочки. Общее число испытаний n =2. Испытания являются независимыми. Событие $A$, которое может произойти или не произойти в каждом испытании, состоит в том, что при повышении напряжения в цепи лампочка не перегорит. Известна вероятность того, что не перегорит только одна лампочка (без указания, какая именно). Так как вероятности наступления события $A$ в каждом испытании равны между собой, то известна вероятность $P_{2}(1)$, определяемая по формуле Бернулли. По условию $P_{2}(1)=0,18$. Требуется найти вероятность р наступления события $A$ в каждом испытании.
По формуле Бернулли получим

$$P_{2}(1)=C_{2}^{1}p^{1}q^{1}=2p(1-p)=0,18.$$

Отсюда следует, что неизвестная вероятность р может быть найдена как корень квадратного уравнения $p^{2}-p+0,09=0$. Это уравнение имеет два корня: $p_{1}=0,9$ и $p_{2}=0,1$. По условию $p>0,7$, поэтому задаче удовлетворяет лишь первый корень. Таким образом, вероятность того, что каждая из лампочек не перегорит, равна $p=0,9$.