Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 2

Задача №1. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 3 :2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 45 легковых автомашин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться?
Решение. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - к бензоколонке подъехала грузовая автомашина;
$B_{2}$ - к бензоколонке подъехала легковая автомашина;
$A$ - подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться.
Учитывая, что число грузовых автомашин относится к числу легковых как 3 : 2, найдем вероятности гипотез - событий $B_{1}$ и $B_{2}$: $P(B_{1})=0,6,\; P(B_{2})=0,4.$ Гипотезы $B_{1}$ и $B_{2}$ составляют полную группу несовместных событий; сумма вероятностей этих событий равна 1.
Событие $A$ может произойти только или вместе с событием $B_{1}$, или с событием $B_{2}$ . Условная вероятность $P_{B_{1}}(A)=1/30$; условная вероятность $P_{B_{2}}(A)=2/45.$
Найдем вероятность события $A$, применив формулу (1) при n-2 :

$$P(A)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)+P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)=0,6\cdot \frac{1}{30}+0,4\cdot \frac{2}{45}\approx 0,0378$$

.
Задача №2. У пользователя на рабочем столе компьютера находятся две папки с файлами. В первой папке 16 файлов, причем 4 из них имеют размер менее 500 килобайт. Во второй папке 20 файлов, из них 5 файлов размером менее 500 килобайт. Не интересуясь размерами файлов, пользователь переводит из первой папки во вторую один файл, после чего открывает файл из второй папки. Найти вероятность того, что будет открыт файл размером менее 500 килобайт.
Решение. Рассмотрим следующие предположение о вариантах перевода пользователем файлов из первой папки во вторую (гипотезы):
$B_{1}$ - из первой папки во вторую переведен файл размером менее 500 Кб;
$B_{2}$ - из первой папки во вторую переведен файл размером не менее 500 Кб.
Найдем вероятности гипотез, применив формулу (1):

$$P(B_{1})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4};\; P(B_{2})=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}.$$

Обозначим событие:
$A$ - файл из второй папки, открытый пользователем, имеет размер менее 500 Кб.
Событие $A$ произойдет или вместе с событием $B_{1}$, или же вместе с событием $B_{2}$. В случае наступления события $B_{1}$ во второй папке станет 21 файл, из них 6 файлов размером менее 500 Кб. Поэтому условная вероятность $P_{B_{1}}(A)=\frac{6}{21}$. В случае наступления события $B_{2}$ во второй папке станет 21 файл, из них 5 файлов размером менее 500 Кб. Поэтому условная вероятность $P_{B_{2}}(A)=\frac{5}{21}$.
Вероятность события $A$ найдем по формуле полной вероятности (1) при n = 2:

$$P(A)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)+P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)=\frac{1}{4}\cdot \frac{6}{21}+\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{21}=\frac{1}{4}$$

.