Решение задач на классическое определение вероятности. Часть 2

Задача №1. Имеется 8 карточек; одна сторона каждой из них чистая, а на другой написаны буквы: И, Я, Л, 3, Г, О, О, О. Карточки кладут на стол чистой стороной вверх, перемешивают, а затем последовательно одну за другой переворачивают. Какова вероятность того, что при последовательном появлении букв будет составлено слово ЗООЛОГИЯ?
Решение. Обозначим событие: В - будет составлено слово ЗООЛОГИЯ.
Найдем вероятность события В, применив формулу классического определения вероятности. Числа m и n, входящие в эту формулу, определим, воспользовавшись формулами теории соединений.
Общее число исходов испытания равно $n=P_{8}=8!=40320$.
Пронумеруем все карточки в соответствии с местами, которые занимают буквы в слове ЗООЛОГИЯ (рис.1).

Будем считать, что буквы 3, Л, Г, И, Я написаны соответственно на карточках 1,4, 6,7, 8. Буква О написана на карточках 2,3 и 5. Закрепим буквы 3, Л, Г, И, Я на местах 1,4,6,7, 8, а карточки 2,3 и 5 будем менять местами (варианты: 2-3-5; 2-5-3; 5-3-2; 5-2-3; 3-2-5; 3-5-2). В результате таких изменений будем получать слово ЗООЛОГИЯ. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию В, равно $m=P_{3}=3!=6$.
Вероятность события В равна Р(В) = 6/40320 = 1/6720.


Задача №2. Любитель музыки, пронумеровав пять прослушанных новых компакт-дисков цифрами 1, 2, 3, 4, 5, поставил их в кассетницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что диски №1 и №2 будут расположены в кассетнице рядом и притом в порядке возрастания номеров?
Решение. Обозначим событие: А - компакт-диски №1 и №2 будут расположены в кассетнице рядом и притом в порядке возрастания номеров.
Найдем вероятность события А, применив формулу классического определения вероятности.
Общее число n исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 5 элементов - 5 пронумерованных компакт-дисков. Эти элементы представлены на рис. 2 символами $\otimes$ и помечены номерами от 1 до 5.

В образовании различных соединений участвуют все 5 элементов, причем соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения являются перестановками из 5-ти элементов. Воспользовавшись формулой числа перестановок из k элементов, получим: $n=P_{5}=5!$.
Найдем число m исходов, благоприятствующих событию А,
Пусть элементы №1 и №2 занимают соответственно первое и второе места. В этом случае остальные три элемента можно переставлять друг с другом всевозможными способами, занимая три оставшиеся свободными места. Число способов этих перемен местами элементов №3, №4 и №5 равно $P_{3}=3!$.
Рассмотрим, сколько различных положений могут занимать элементы №1 и №2, когда они находятся рядом и расположены в заданном порядке. На рис. 2 возможные положения этих элементов показаны знаками v. Как видно из рис. 2, таких положений всего 4. Следовательно, $m=3!\cdot 4=4!$ .
Искомая вероятность

$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{4!}{5!}=\frac{1}{5}.$$

Задача №3. Из колоды карт вынули 4 туза и 4 короля. Эти карты перемешали и разложили в ряд. Какова вероятность того, что все 4 короля окажутся расположенными рядом?
Решение. Обозначим событие: А - А короля окажутся расположенными рядом. Вероятность события А найдем по формуле классического определения вероятности.
Общее число n возможных исходов испытания получим аналогично тому, как это сделано в задаче 2. Всего имеется 8 элементов - 8 карт. Эти элементы представлены на рис. 3, они помечены номерами от одного до восьми.

Элементы 1-4 - короли, они представлены символами $\otimes$ а элементы 5-8 - тузы, они представлены символами $\bigcirc$. В образовании различных соединений участвуют все 8 элементов, причем соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 8-ми элементов. Воспользовавшись формулой числа перестановок из k элементов, получим: $n=P_{8}=8!$.
Найдем число m исходов, благоприятствующих событию А,
Пусть короли (элементы 1-4) расположатся впереди тузов, т. е. займут соответственно места 1-4. В этом случае тузы (элементы 5-8) можно переставлять всевозможными способами, занимая оставшиеся свободными 4 места. Число этих способов равно $P_{4}=4!$.
Рассмотрим, какие положения могут занимать элементы 1-4, если они находятся рядом и расставлены в определенном порядке. На рис. 3 возможные положения этих элементов показаны знаками v. Как видно из рисунка, таких положений всего 5. Следовательно, число способов разместить в ряду четырех королей так, чтобы они были расположены рядом и в определенном порядке, равно $4!\cdot 5=5!$.
Число способов, которыми можно переставлять между собой местами четырех королей, равно $P_{4}=4!$.
Соединяя каждый первый способ расположения карт (короли расположены рядом и в определенном порядке) со вторым (короли расположены рядом, но в произвольном порядке), получим: $m=5!\cdot 4!$.
Искомая вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{5!\cdot 4!}{8!}=\frac{1}{14}.$$