Решение задач на классическое определение вероятности. Часть 3

Задача №1. Подготовлены для посадки на садовом участке и случайно смеша­ны саженцы двух сортов черной смородины: 6 саженцев сорта Селеченская и 8 - сорта Вологда. Какова вероятность того, что первыми будут посаже­ны 3 саженца смородины сорта Селеченская?
Решение. Обозначим событие: А - первыми будут посажены 3 саженца смородины сорта Селеченская.
Найдем вероятность события А, применив классическое определение вероятности. Числа m и n, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений.

Имеется 14 элементов - 14 саженцев смородины. Эти элементы пред­ставлены на рис.1 символами $\otimes$ и $\Theta$ и помечены номерами от 1 до 14. На рис.1 саженцы смородины сорт Селеченская помечены номерами от 1 до 6, а сорта Вологда - от 7 до 14.
По условию в каждое соединение из 14 элементов входят 3 элемента, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элемен­том, причем порядок элементов роли не играет. Возможными будут такие соединения: 1-3-6; 1-7-8; 3-4-6; 11-13-14 и т. п. Таким образом, общее число равновозможных исходов испытания равно числу сочетаний из 14 элементов по 3, т.е. $n=C_{14}^{3}$. По формуле вычисления числа сочетаний из k элементов по s, найдем: $C_{14}^{3}=\frac{14!}{3!\cdot 11!}=364.$
Благоприятствующими событию А будут соединения из 6 элементов (саженцев смородины сорта Селеченская), в каждое из которых входят 3 элемента, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Благоприятствующими событию А будут соединения: 1-2-6; 4-3-2; 1-5-3 и т. п. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно числу сочетаний из 6-ти элементов по 3. По формуле вычисления числа сочетаний из k элементов по s, найдем $m=C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=20.$
Искомая вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{C_{6}^{3}}{C_{14}^{3}}=\frac{20}{364}=\frac{5}{91}\approx 0,0549.$$

Задача №2. На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы с различными образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 - с сухой. Найти вертятность того, что три из пяти наудачу взятых с этой полки бюк­сов будут с сухой почвой.
Решение. Обозначим событие: А - среди 5-ти взятых с полки бюксов будут 3 бюкса с сухой почвой.
Вероятность события А найдем по формуле классического определения вероятности. Числа m и n, входя­щие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соеди­нений.
Всего имеется 14 элементов - 14 бюксов с почвой. Эти элементы представлены на рис.2 символами $\otimes$ и $\Theta$ и помечены номерами от 1 до 14. Бюксы с сухой почвой помечены номерами от 1 до б, бюксы с влажной почвой - номерами от 7 до 14.

Общее число n возможных исходов испытания равно числу спосо­бов, которыми можно отобрать 5 бюксов из 14. В каждое соединение из 14 элементов входят 5 элементов, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Возможны соединения: 1-3-2-7-8; 13-2-7-9-14; 2-4-6-10-11; 9-10-11-12-14 и т. п. Таким образом, $n=C_{14}^{5}=\frac{14!}{5!\cdot 9!}=2002.$
Найдем число исходов испытания, благоприятствующих событию А. Бюксы с сухой почвой отнесем к первой труппе бюксов, а с влажной поч­вой - ко второй, три бюкса с сухой почвой можно взять из имеющихся шести бюксов с сухой почвой s способами, где $s=C_{6}^{3}$ (варианты: 1-4-5; 2-3-5; 2-4-6 и т.п.). Остальные 2 бюкса из пяти отобранных должны быть с влажной почвой. Взять 2 бюкса с влажной почвой из имеющихся 8-ми можно t способами, где $t=C_{8}^{2}$ (варианты: 7-9; 10-14 и т. п.).
Любую из комбинаций бюксов первой группы можно соединить с лю­бой из комбинаций бюксов второй группы. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m=s\cdot t=C_{6}^{3}\cdot C_{8}^{2}=560.$
Вероятность события A равна $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{560}{2002}\approx 0,2797.$


Задача №3. В партии из N изделий имеется k стандартных. Для проверки на­удачу выбрали l изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий ровно r стандартных.
Решение. Обозначим событие: А - среди отобранных l изделий имеется r стандартных.
Найдем вероятность события А, применив формулу классического определения вероятности. Числа m и n, входящие в эту формулу, получим, используя формулы теории соедине­ний.
Всего имеется N элементов - N изделий партии. Эти элементы представлены на рис. 3. Стандартные изделия изображены символами $\otimes$, а нестандартные - символами $\bigcirc$. Число стандартных изделий в партии равно k, а число нестандартных равно N-k (рис.3,а).

Общее число n возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать l элементов из N. В каждое соединение из N элементов входят l элементов. Различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не игра­ет. Следовательно, эти соединения представляют собой сочетания из N
элементов по l. Таким образом, $n=C_{N}^{l}$.
Найдем число исходов испытания, благоприятствующих событию А. Среди отобранных l изделий имеются r стандартных и l-r нестандартных (рис.3,б). Стандартные изделия отнесем к первой группе изделий, а нестандартные - ко второй.
Число способов, которыми можно взять нужные r стандартных изде­лий из имеющихся в партии k стандартных изделий равно $s=C_{k}^{r}$. Число способов, которыми можно взять l-r нестандартных изделий из имею­щихся в партии N-k таких изделий равно $t=C_{N-k}^{l-r}.$
Любую из комбинаций изделий первой группы можно соединить с любой из комбинаций изделий второй группы. Следовательно, число исхо­дов, благоприятствующих событию А, равно $m=s\cdot t=C_{k}^{r}\cdot C_{N-k}^{l-r}.$
Вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{C_{k}^{r}\cdot C_{N-k}^{l-r}}{C_{N}^{l}}.$$