Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 14

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к значению $a$, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при $x=a$. т. е.
$\displaystyle \underset{x \to a}{\textrm{lim}}f(x)=f(a).$
Пример 1. Найти предел функции:
1) $\displaystyle f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+4$ при $\displaystyle x \to -3$;
2) $\displaystyle \varphi (t)=t\sqrt{t^{2}-20}-lg(t+\sqrt{t^{2}-20})$ при $\displaystyle t \to 6$.
Решение. Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
1) $\displaystyle \underset{x \to -3}{\textrm{lim}}f(x)=f(-3)=$
$=(-3)^{3}-5\cdot (-3)^{2}+2\cdot (-3)+4=-74;$
2) $\displaystyle \underset{t \to 6}{\textrm{lim}}\: \varphi (t)=\varphi (6)=$
$=6\sqrt{6^{2}-20}-lg(6+\sqrt{6^{2}-20})=23.$
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов, получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная $a>0$)
1. $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: ax=\infty .$
2. $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: \frac{x}{a}=\infty .$
3. $\displaystyle \underset{x \to -0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=-\infty .$
4. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to +0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=+\infty .$
5. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=\infty .$
6. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\: \frac{a}{x}=0 .$
7. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\: a^{x}= \left\{\begin{matrix} 0,\; if\: |a|<1,\\ +\infty ,\: if\: a>1\\ \infty ,\: if\: a<-1. \end{matrix}\right.$
При $a<0$ переменная $x$ может принимать только целочисленные значения; для всех значений $x$ при $a<0$ функция $\displaystyle a^{x}$ не определена.
8. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to -\infty }{\textrm{lim}}\: a^{x}= \left\{\begin{matrix} 0,\; if\: |a|>1,\\ +\infty ,\: if\: 0<a<1\\ \infty ,\: if\: -1<a<0. \end{matrix}\right.$
9. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\: \textrm{log}_{a}x= \left\{\begin{matrix} +\infty ,\: if\: a>1\\ -\infty ,\: if\: 0<a<1. \end{matrix}\right.$
10. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to +0 }{\textrm{lim}}\: \textrm{log}_{a}x= \left\{\begin{matrix} -\infty ,\: if\: a>1\\ +\infty ,\: if\: 0<a<1. \end{matrix}\right.$
11. Первый замечательный предел:
$\displaystyle \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\frac{\sin x}{x}=1$ (x есть радианная мера угла).
12. $\displaystyle \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }}=e\approx 2,71828.$
Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами.