Теоремы о бесконечно малых и о пределах. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 13

Пример 2. При $\displaystyle n \to +\infty$ найти пределы следующих функций:
1) $\displaystyle S_{1}(n)=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-1}{n};$
2) $\displaystyle S_{2}(n)=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}};$
3) $\displaystyle S_{3}(n)=\frac{1}{n^{3}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{3}{n^{3}}+...+\frac{n-1}{n^{3}}.$
Решение. Каждая из данных функций представляет сумму $n-1$ членов арифметической прогрессии. Разность первой прогрессии $\displaystyle \frac{1}{n}$, второй $\displaystyle \frac{1}{n^{2}}$ и третьей $\displaystyle \frac{1}{n^{3}}$.
Выполняя сложение и переходя к пределу, найдем:
1) $\displaystyle S_{1}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n}+\frac{n-1}{n} \right )=\frac{1}{2}(n-1);$
$\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{1}=\frac{1}{2}(\textrm{lim}\: n-1)=+\infty .$
2) $\displaystyle S_{2}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n^{2}}+\frac{n-1}{n^{2}} \right )=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{n} \right );$
$\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{2}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\textrm{lim}\: n} \right )=\frac{1}{2}.$
3) $\displaystyle S_{3}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n^{3}}+\frac{n-1}{n^{3}} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}} \right );$
$\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{3}=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{\textrm{lim}\: n}-\frac{1}{(\textrm{lim}\: n)^{2}} \right ]=0.$
В этой задаче, при $\displaystyle n \to +\infty$ функции $\displaystyle S_{1},S_{2}$ и $\displaystyle S_{3}$ являются суммами бесконечно малых величин, число которых неограниченно возрастает вместе с $n$. Полученные результаты показывают, что $\displaystyle S_{1}$ есть величина бесконечно большая, $\displaystyle S_{2}$ — величина, стремящаяся к $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle S_{3}$ — величина бесконечно малая.
Следовательно, решение этой задачи показывает: если число слагаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма может оказаться любой величиной.
Пример 3. Доказать, что $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{x^{n}}{n!}=0$ при любом значении $x$.
Решение. Каково бы ни было значение $x$, всегда найдутся такие два последовательных целых положительных числа $k$ и $k+1$, между которыми заключается $\displaystyle \left | x \right |$, т. е. $\displaystyle k<\left | x \right |<k+1$. Исходя из этого, получим очевидное неравенство:
$\displaystyle \left | \frac{x^{n}}{n!} \right |=\left | \frac{x^{k}}{k!}\cdot \frac{x}{k+1}\cdot \frac{x}{k+2} \cdot \frac{x}{k+3}\cdot ...\cdot \frac{x}{n}\right |<\left | \frac{x^{k}}{k!} \right |\cdot \left | \frac{x}{k+1} \right |^{n-k}.$
Первый множитель $\displaystyle M_{1}=\left | \frac{x^{k}}{k!} \right |$ не зависит от $n$ и при любом данном значении $x$ является постоянным; второй множитель $\displaystyle M_{2}=\left | \frac{x}{k+1} \right |^{n-k}$ при $\displaystyle n \to +\infty$ будет величиной бесконечно малой, ибо $\displaystyle \left | \frac{x}{k+1} \right |<1$. (См. решение задачи 2 (урок 10).)
Поэтому $\displaystyle M_{1}\cdot M_{2}$, как произведение постоянной величины на бесконечно малую, есть величина бесконечно малая. Вследствие этого функция $\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}$ также будет величиной бесконечно малой, т. е. $\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{x^{n}}{n!}=0$ при любом значении $x$.