Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Примеры. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) $y=(1-x^{2})^{3}$; 2) $u=x\sqrt{1-x^{2}}$; 3) $v=2\sqrt[3]{x^{5}}-5\sqrt[3]{x^{2}}+1$; 4) $p=x^{3}-12x$; 5) $q=x^{2}+\sqrt{x^{5}}$; 6) $r=\sin ^{2}x$.
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: $y'=3(1-x^{2})^{2}(-2x)=-6x(1-x^{2})^{2}$ и критические точки. Полагая $y'=0$, получим $x_{1}=0,\: x_{2}=1,\: x_{3}=-1$. Функция $y$ определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки $x_{1},\: x_{2}$ и $x_{1}$ являются критическими.
Других критических точек нет, так как производная $y'$ существует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак $y'$ слева и справа от каждой этой точки (по правилу IIа). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:

В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках, т. е. знаки $\displaystyle y'(-2),y'\left ( -\frac{1}{2} \right ),y'\left ( \frac{1}{2} \right )$ и $y'(2)$.

В третьей строке — заключение о поведении функции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума — точку максимума $x=0$, где $\displaystyle y_{max}=y(0)=1$. До этой точки в интервале $(-\infty;0)$ функция неизменно возрастает, а после нее в интервале $(0;+\infty)$ она неизменно убывает (рис. 45).
2) I. Ищем критические точки. Производная $\displaystyle u'=\frac{1-2x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ обращается в нуль при $\displaystyle x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ и не существует (разрывна) при $x_{3,4}=\pm 1$. Однако критическими точками являются только точки $x_{1}$ и $x_{2}$: они лежат внутри области определения функции $u$, которая представляет отрезок [ — 1; 1], и в них эта функция непрерывна. Точки $x_{3}$ и $x_{4}$ не являются критическими, так как они лежат не внутри области определения функции $u$, а на ее границах.
II. Исследуем критические точки по знаку производной $u'$ в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:


Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума: точку минимума $\displaystyle x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, где $\displaystyle u_{min}=u\left ( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right )=-\frac{1}{2}$ и точку максимума $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$,где $\displaystyle u_{max}=u\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )=\frac{1}{2}$ (рис. 46).
3) I. Находим производную

$$\displaystyle v'=2\cdot \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-5\cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}\cdot \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}$$

и критические точки: $v'=0$ при $x=1$; $v'$ не существует (равна $\infty$) при $x=0$. Функция $v$ определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II. Исследуем критические точки по знаку производной $v'$ в соседних с ними точках. Составим таблицу:


Из таблицы следует, что функция $v$ имеет две точки экстремума: точку максимума $x=0$, где $v_{max}=v(0)=1$, и точку минимума $x=1$, где $v_{min}=v(1)=-2$ (рис. 47).
4) I. Найдем критические точки. Производная $\displaystyle p'=3x^{2}-12$ равна нулю в точках $x=\pm 2$. Эти точки являются критическими, так как функция $p$ определена и непрерывна на всей числовой оси. Производная $p'$ существует всюду. Поэтому других критических точек функция $p$ не имеет.

II. Исследуем критические точки по знаку второй производной $p''$ в самих этих точках (по правилу II б): $p''=6x;\: p''(-2)=-12<0$, следовательно, критическая точка $x=-2$ есть точка максимума, где $p_{max}=p(-2)=16;\: p''(2)=12>0$, поэтому критическая точка $x=2$ есть точка минимума, где $p_{min}=p(2)=-16$ (рис. 48).
5) I. Ищем производную $\displaystyle q'=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}+2x$ и критические точки: $q'$ обращается в нуль в точке $x=0$. В этой точке функция $q$ непрерывна, но она не лежит внутри области определения функции $q$, которая представляет интервал $0\leq x<+\infty$.
Поэтому точка $x=0$ не является критической; $q'$ не обращается в нуль в других точках и существует во всей области определения функции. Поэтому функция $q$, как не имеющая ни одной критической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо $q'\geq 0$ во всей этой области (рис. 49).
Если не учесть, что точка $x=0$ не лежит внутри области определения функции $q$, то, применяя правило IIб, $\displaystyle q''=\frac{15}{4}x^{\frac{1}{2}}+2,\: q''(0)=2>0$, приходим к ошибочному заключению, что в этой точке функция $q$ имеет минимум.
6) I. Находим критические точки: $r'=2\sin x\cos x=\sin 2x;\: r'=0$ при $\displaystyle x_{k}=\frac{\pi k}{2},\: k=0,\pm 1,\pm 2,...$.
Все точки $x_{k}$ являются критическими, так как функция $r$ определена и непрерывна на всей числовой оси; $r'$ существует всюду, поэтому других критических точек нет.

II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках: $r''=2\cos 2x;\: r''(x_{k})=2\cos k\pi$. При четном $k$, $r''(x_{k})=2>0$, точки $x_{k}$ являются точками минимума, где $r_{min}=0$; при нечетном $k$, $r''(x_{k})=-2<0$, точки $x_{k}$ являются точками максимума, где $r_{max}=1$ (рис. 50). Здесь оказалось, что у функции $r$ максимумы и минимумы строго чередуются. То же будет и у любой непрерывной функции, имеющей несколько экстремумов.