Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Пример 4. Исследовать функцию $y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x$ и построить ее график.
Решение. I, II. Функция $y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x$ определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как $y(-x)=y(x)$, и периодической, так как $\displaystyle y(x)=y\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )$, с периодом $\displaystyle \frac{\pi }{2}$. Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале $\displaystyle \left [0;\frac{\pi }{2} \right )$; в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.
IV. При $x=0,\, y=1;\: y\neq 0$. График функции пересекает ось $Oy$ в точке (0; 1) и не пересекает ось $Ox$. При любом значении $x$ функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б) $\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{x}=0;$
$\displaystyle b=\underset{x \to +\infty }{\lim}(y-kx)=\underset{x \to +\infty }{\lim}(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)$ — не существует.
При $x \to -\infty$ невертикальной асимптоты также не существует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. $y'=4\sin ^{3}x\cos x-4\cos ^{3}x\sin x=4\sin x\cos x(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)=-2\sin 2x\cos 2x=-\sin 4x;$
$y'$ обращается в нуль в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ в точках $x=0$ и $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$, которые являются критическими. Других критических точек в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ нет, так как $y'$ существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку $y''$ (по правилу IIб): $y''=-4\cos 4x;\: y''(0)=-4<0$, следовательно, $x=0$ есть точка максимума, где $\displaystyle y_{max}=y(0)=1;\: y''\left ( \frac{\pi }{4} \right )=4>0$, поэтому $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$ есть точка минимума, где $\displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2}$.
В интервале $\displaystyle \left ( 0;\frac{\pi }{4} \right )$, где $y'<0$, функция убывает, а в интервале $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right )$, где $y'>0$, функция возрастает.
VII. $y''=-4\cos 4x$; $y''$ существует всюду и обращается в нуль в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ при $\displaystyle x=\frac{\pi }{8}$ и $\displaystyle x=\frac{3\pi }{8}$. Эти точки оси $Ox$ могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку $y''$ в соседних точках,

заключаем, что в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ график функции имеет две точки перегиба: $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{8};\frac{3}{4} \right )$ и $\displaystyle \left ( \frac{3\pi }{8};\frac{3}{4} \right )$.
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения. В интервалах $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{8} \right )$ и $\displaystyle \left ( \frac{3\pi }{8};\frac{\pi }{2} \right )$, где $y''<0$, график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервале $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{8};\frac{3\pi }{8} \right )$, где $y''>0$, он обращен выпуклостью вниз.

VIII. Согласно полученным результатам исследования строим график функции в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$, длина которого равна периоду данной функции, и затем повторяем его влево и вправо по периодическому закону (рис. 71).
Пример 5. Исследовать функцию $\displaystyle y=x^{2}e^{\frac{1}{x}}$ и построить ее график.
Решение. I. Функция $\displaystyle y=x^{2}e^{\frac{1}{x}}$ определена на всей числовой оси, кроме точки $x=0$.
II. В точке $x=0$ функция имеет разрыв: она определена вблизи этой точки, но не определена в самой точке

$\underset{x \to -0}{\lim }y=0$, ибо $\displaystyle \underset{x \to -0}{\lim }e^{\frac{1}{x}}=e^{-\infty }=0$.

При $x \to +\infty$ имеет место случай нахождения предела $0\cdot \infty$. Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
$\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }y=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=\frac{e^{+\infty }}{2}=+\infty$.
Следовательно, в точке $x=0$ разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например $y(-2)>0$, и в какой-либо точке справа от нее, например $y(2)>0$, заключаем, что функция имеет положительные значения во всей своей области определения.
V. а) Вертикальной асимптотой графика функции является прямая $x=0$, ибо при $x=0$ функция имеет бесконечный разрыв;
б) $\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }xe^{\frac{1}{x}}=+\infty$, так как $\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }e^{\frac{1}{x}}=1$.
При $x \to -\infty$ угловой коэффициент невертикальной асимптоты также не существует, т. е. таких асимптот график функции не имеет.
VI. $\displaystyle y'=e^{\frac{1}{x}}(2x-1);\: y'=0$ в точке $\displaystyle x=\frac{1}{2}$, которая является критической; $y'$ не существует в точке $x=0$ но она не является критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку $y''$ в этой точке:

$$\displaystyle y''=\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}};\: y''\left ( \frac{1}{2} \right )>0,$$

заключаем, что $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ есть точка минимума: $\displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{e^{2}}{4}$.
Определяя знак $y'$ в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
$(-\infty ;0)$ и $\displaystyle \left ( 0;\frac{1}{2} \right )$, где $y'<0$, функция убывает, а в интервале $\displaystyle \left ( \frac{1}{2};+\infty \right )$, где $y'>0$, она возрастает.
VII. $\displaystyle y''=\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}$ нигде не обращается в нуль и существует во всей области определения функции. Поэтому график функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак $y''$ в какой-либо точке слева от точки разрыва, например $y''(-2)>0$, и в какой-либо точке справа от нее, например $y''(3)>0$, заключаем, что график функции всюду обращен выпуклостью вниз.

VIII. Ввиду недостаточности полученных данных находим дополнительно несколько точек графика, беря подходящие значения $x$ и определяя соответствующие значения $y$ из данного уравнения:

$$\displaystyle \left ( -2;\frac{4}{\sqrt{e}} \right ),\: \left ( -1;\frac{1}{e} \right ),\: (1;e).$$

Наконец, строим график функции (рис. 72).